Question

análise combinatória


Quantas diagonais tem um decagono?​

Answer 1

O decágono possui 35 diagonais.

Um decágono é um polígono que possui 10 lados e, consequentemente, 10 vértices.

Por definição, a diagonal é aquele segmento de reta que une dois vértices não adjacentes de um polígono. Nesse sentido, para cada vértice do decágono, existem 7 vértices possíveis de se fazer diagonais (não se pode ligar no vértice do lado esquerdo, nem do lado direito, nem nele próprio).

Supondo que não haja essa restrição, como são 10 vértices e queremos ligar os vértices dois a dois, então existem C₁₀,₂ combinações de ligar dois vértices (a ordem não importa, por isso usamos combinação).

C10,2 = 10.9.8! / 8!.2! = 10.9/2 = 45 possibilidades.

No entanto, estamos contando os casos proibidos, que são aqueles em que o segmento liga dois vértices adjacentes. Para excluir esse erro, basta diminuir pela quantidade de lados do decágono (10), pois é exatamente a quantidade que contamos a mais quando fizemos a combinação de 10 vértices tomados 2 a 2.

45 - 10 = 35 diagonais.

Answer 2

✅ Tendo finalizado os cálculos, concluímos que o número total de diagonais do decágono regular e convexo é:

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf d = 35\:\:\:}}\end{gathered} }$

Se o referido polígono é um decágono, então seu número de lados "n" é:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} n = 10\end{gathered}$

Para calcular o número de diagonais de um polígono regular e convexo devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$             $\Large\displaystyle\begin{gathered} d = \frac{n\cdot(n - 3)}{2}\end{gathered}$

Substituindo o valor de "n" na equação "I", temos:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} d = \frac{10\cdot(10 - 3)}{2}\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{10\cdot7}{2}\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{70}{2}\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 35\end{gathered}$

✅ Portanto, o número de diagonais é:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} d = 35\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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