Question

Se x e y são números reais, então max(x,y) + min(x,y) = x + y

Disciplina de fundamentos matemáticos, PROVAS.

Answer 1

Por definição, as funções max e min são dadas por:

[Definição 1]  

max(a,b):    a > b ⇒ a  

                  a = b  ⇒ a    

                  b > a ⇒ b

[Definição 2]

min(a,b):     a > b ⇒ b    

                  a = b ⇒ b    

                  b > a ⇒ a

Sejam x e y números reais, então temos os casos:

1) x > y

2) x = y

3) x < y

Provar que: max(x,y) + min(x,y)  = x + y, para todos os casos.

Supondo o primeiro caso:

max(x,y) + min(x,y)       [Definição 1]

x + min(x,y)                   [Definição 2]

x + y

Supondo o segundo caso:

max(x,y) + min(x,y)       [Definição 1]

x + min(x,y)                   [Definição 2]

x + y

Supondo o terceiro caso:

max(x,y) + min(x,y)       [Definição 1]

y + x                              [Definição 2]

x + y                              [Comutatividade da soma]

Já que todos os casos satisfazem, então está provada a conjuntura inicial.