Question

Em qual dos intervalos a função f(x)=x^3-3x é decrescente?​

Answer 1

Para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função derivável, devemos estudar o sinal de sua 1ª derivada.

Foi dada a função

   $\mathsf{f(x)=x^3-3x}$

cujo domínio é ℝ e sua 1ª derivada é

    $\mathsf{f'(x)=3x^{3-1}-3\cdot 1\quad\Longleftrightarrow\quad f'(x)=3x^2-3}$

cujo domínio também é todo o ℝ.

Encontrando as raízes da 1ª derivada:

    $\mathsf{f'(x)=0}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad 3x^2-3=0}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad 3x^2=3}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x^2=1}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x=\pm 1}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x=-1\quad ou\quad x=1}$

O coeficiente do termo quadrático de f'(x) é a = 3, que é positivo. O gráfico de f'(x) é uma parábola com concavidade voltada para cima, e intersecta o eixo x nos pontos x = -1 e x = 1.

Eis então o quadro de sinais de f'(x):

$\large\begin{array}{l} \mathsf{f'(x)=3x^2-3\qquad\quad \overset{++++++}{\textsf{------------}}\!\!\!\underset{-1}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\!\overset{---------}{\textsf{------------------}}\!\!\underset{1}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\overset{++++++}{\textsf{------------}}\!\!\!\small\begin{array}{l}\blacktriangleright \end{array}} \end{array}$

A função f é decrescente no intervalo em que a 1ª derivada é negativa. Isto se dá para $\mathsf{-1<x<1.}$

Portanto, f é decrescente no intervalo $\mathsf{\left]-1,\,1\right[.}$

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Bons estudos! :-)