Question

Se x, y pertence aos N e xy + x +y= 71 e x^2y + xy^2 = 880 ,
então qual o valor de x^2 + y^2 ?

Answer 1

Resposta:

x² + y² =  146 >>>

Explicação passo-a-passo:

xy + x + y = 71

x²y + xy² = 880

x² + y² = ?

xy +  ( x + y ) = 71>>>>  Soma  das raizes    

xy *  ( x + y )  = 880 >>>> produto das raizes

aplicando a fórmula da  Soma e do Produto temos

x² - Sx  + P= 0

como  já foi usada x , y   nas respostas acima vamos  mudar x para m

m²  - Sm  + P = 0  

m² - 71m + 880 = 0

trinômio  completo do segundo grau   achando delta e as   raizes

a = 1

b = -71

c = +880

b² - 4ac =  ( -71)²-[ 4 *  1 * 880 ]   =  5041 - 3520 =1521  ou  +-V1521 =

+-  V(3² *  13²)   = 3 * 13 = 39 ***** ou +-39  delta

m =  (  71 +- 39)/2

m1 =  ( 71 +  39 )/2 = 110/2 = 55  >>>>>Produto

m2 = ( 71 - 39)/2 =  32/2 = 16 >>>>Soma

Nota  > 1 521= 3² * 13²  

seja

m1 =  xy =   55 >>>> produto

m2 = x+ y =   16 >>>>soma

vamos  aplicar  a  fórmula dada acima  trocando x por m

m²  -Sm   + P = 0

m² - 16m  + 55 =0

achando delta e raizes

a = 1

b = -16

c =+ 55

b² - 4ac=  (-16)² - [ 4 * 1 *55] = 256 - 220  = +-V36 ou +-6 >>>>delta

m =  ( 16 +-  6 )/2

m1 = ( 16 + 6)/2 = 22/2= 11 >>>>

m2 = ( 16 - 6)/2  = 10/2 = 5 >>>>

Seja

m1 = x =  11 >>>

m2 =y =  5 >>>>

RESPOSTA

x²  + y²  =  11²  + 5²   = 121  + 25 = 146 >>>>

Answer 2

Resolver o sistema

    $\left\{ \begin{array}{l} \mathsf{xy+x+y=71}\\\\ \mathsf{x^2y+xy^2=880} \end{array} \right.$

com x, y naturais.

Coloque o fator comum xy em evidência no lado esquerdo da 2ª equação:

    $\Longleftrightarrow\quad \left\{ \begin{array}{l} \mathsf{xy+(x+y)=71}\\\\ \mathsf{xy\cdot (x+y)=880} \end{array} \right.$

Faça uma mudança de variáveis. Chame

    xy = a    e   x + y = b

Perceba que a e b também devem ser números naturais, pois são ou soma ou multiplicação de dois naturais. Dessa forma, o sistema fica

    $\Longleftrightarrow\quad \left\{ \begin{array}{l} \mathsf{a+b=71}\\\\ \mathsf{a\cdot b=880} \end{array} \right.$

Isole b na 1ª equação e substitua na 2ª:

    $\Longrightarrow \qquad\mathsf{b=71-a}\\\\\\ \Longrightarrow \qquad\mathsf{a\cdot (71-a)=880}\\\\ \Longleftrightarrow \qquad\mathsf{71a-a^2=880}\\\\ \Longleftrightarrow \qquad\mathsf{a^2-71a+880=0}$

Queremos encontrar dois números naturais cuja soma seja 71 e cujo produto seja 880. Para isso, reescreva convenientemente - 71a como - 16a - 55a, e a equação acima fica

    $\Longleftrightarrow \qquad\mathsf{a^2-16a-55a+880=0}$

Coloque a em evidência nas duas primeiras parcelas, e -55 em evidência nas duas últimas parcelas do lado esquerdo:

    $\Longleftrightarrow \qquad\mathsf{a(a-16)-55(a-16)=0}\\\\ \Longleftrightarrow \qquad\mathsf{(a-16)(a-55)=0}\\\\ \Longleftrightarrow \qquad\mathsf{a-16=0\qquad ou\qquad a-55=0}\\\\ \Longleftrightarrow \qquad\mathsf{a=16\qquad ou\qquad a=55}$

Obs.: Poderia ter usado a fórmula resolutiva de Báscara para resolver a equação do 2º grau. Mas como já sabemos que as soluções são números naturais fica mais fácil resolver via fatoração por agrupamento.

Agora vejamos:

    Se a = 16, então b = 71 - 16 = 55

    Se a = 55, então b = 71 - 55 = 16.

Vamos observar os dois casos.

Caso a = 16 e b = 55, temos

    $\Longrightarrow\quad \left\{ \begin{array}{l} \mathsf{xy=16}\\\\ \mathsf{x+y=55} \end{array} \right.$

mas se o produto xy = 16, em particular devemos ter

    $\Longrightarrow\quad \mathsf{x<16\quad e\quad y<16}\\\\ \Longrightarrow\quad \mathsf{x+y<16+16}\\\\ \Longrightarrow\quad \mathsf{x+y<32<55}$

Portanto esse caso não é possível, e assim devemos ter a = 55 e b = 16, ou seja,

    $\Longrightarrow\quad \left\{ \begin{array}{l} \mathsf{xy=55}\\\\ \mathsf{x+y=16} \end{array} \right.$

Queremos saber o valor de x² + y². Por isso, não precisamos encontrar os valores de x e y isoladamente. Façamos o seguinte:

Eleve os dois lados da 2ª equação ao quadrado e desenvolva o quadrado da soma no lado esquerdo:

    $\Longrightarrow\quad\mathsf{(x+y)^2=16^2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad\mathsf{x^2+2xy+y^2=256}\\\\ \Longleftrightarrow\quad\mathsf{x^2+y^2=256-2xy}\\\\ \Longleftrightarrow\quad\mathsf{x^2+y^2=256-2\cdot 55}\\\\ \Longleftrightarrow\quad\mathsf{x^2+y^2=256-110}\\\\ \Longleftrightarrow\quad\mathsf{x^2+y^2=146\quad \longleftarrow\quad resposta.}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)