Question

Calcular a e b na igualdade a+√b = ∛(2+√5).

elevei ao cubo e encontrei a³+3a²√b + 3ab + b√b = 2+√5

3a²√b + b√b = √5. Assim (3a²+b)√b = 1.√5. Logo b = 5. Quando fui calcular "a" olha no que deu 3a² + b = 1. Logo 3a² + 5 = 1. Observe que vai gerar 3a² = -4, findando com a² = -4/3 e não existe raiz quadrada de número negativo nos Reais. Daí pra frente como proceder? Gostaria que fosse feito elevando ao cubo.

Answer 1

Resposta:

Se for só isso a+√b = ∛(2+√5)

uma equação e duas incógnitas, temos infinitas soluções

Se b=0 ==>a=∛(2+√5)

Se b=4 ==> a=∛(2+√5) -2

Se b=1/2 ==>a=∛(2+√5 -√(1/2)

b só não pode se < 0

Answer 2

Resolução:

Antes de resolver o exercício proposto, venho dizer que o acesso à teoria completa necessária para o entendimento de alguns passos que serão realizados nesta resolução é dado por meio de um "link", situado no final da resolução. Repare que, antes mesmo de resolver o exercício, faz-se necessário reescrever a expressão irracional cúbica $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}$. Reescrevendo-a, temos:

$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}=\sqrt[3]{\left(2+\sqrt{5}\right) \cdot \dfrac{8}{8}}=\dfrac{\sqrt[3]{16+8\sqrt{5}}}{2}$

Para dar seguimento à resolução, chamaremos $\dfrac{\sqrt[3]{16+8\sqrt{5}}}{2}$ de $k$, o que equivale a:

$2k=\sqrt[3]{16+8\sqrt{5}}$

Agora, baseado em tudo que foi dito na teoria correspondente, suporemos que $\sqrt[3]{16+8\sqrt{5}}=2k$ possa ser escrita, de maneira equivalente e simplificada, como segue:

$\sqrt[3]{16+8\sqrt{5}}=a+b\sqrt{5};\ b,\ a\ \in\ \mathbb{Z^{*}}$

Também é sabido que:

$b=1\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ a^{2}=\dfrac{8-5}{3}\ \in\ \{1,4,9,16,25,36,\cdots\}$

E por ser verdade que $a^{2}=1\ \in\ \{1,4,9,16,25,36,\cdots\}$, obtém-se:

$b=1$

E, para $b=1$, o único valor para $a$ é $a=1$, pois $a=-1$ não verifica a seguinte igualdade:

$a\left(a^{2}+15\right)=16$

Por fim, está comprovado que o radical cúbico duplo $\sqrt[3]{16+8\sqrt{5}}$ pode ser escrito, de maneira equivalente e simplificada, por $1+\sqrt{5}$. Ou seja:

$\sqrt[3]{16+8\sqrt{5}}=1+\sqrt{5}$

Mas $\sqrt[3]{16+8\sqrt{5}}=1+\sqrt{5}=2k$, então $k$ vale:

$k=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{5}=\phi$

Obs.: A teoria completa (escrita por mim) encontra-se neste link: https://brainly.com.br/tarefa/24732485

Um grande abraço!