Question

Considere a função
f(x)= x – 2/x^2 -4
a) Qual é o domínio da função f?
b) Determine as assíntotas, caso existam, e esboce o grá-
fico de f.​

Answer 1

Utilizando conceitos de domínio e limites, temos que:

a) Dom: {x e R ; x ≠-2 e x ≠ 2}.

b) Três assintotas, como podemos ver no gráfico em anexo.

Explicação passo-a-passo:

Vamos primeiramente simplificar esta função:

$f(x)=\frac{x-2}{x^2-4}$

$f(x)=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}$

Agora podemos responder esta questão:

a) Qual é o domínio da função f?

Note que não existe função dividida por 0, então sempre que o denominador desta função for 0, ela não existe, logo, o domínio são todos os pontos menos x = -2 e x = 2, assim:

Dom: {x e R ; x ≠-2 e x ≠ 2}.

b) Determine as assíntotas, caso existam, e esboce o gráfico de f.​

Para encontrarmos assintotas, temos que fazer os limites das função nos pontos onde ela não existe:

$lim_{x\rightarrow -2}f(x)=lim_{x\rightarrow -2}\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=lim_{x\rightarrow -2}\frac{1}{x+2}=\pm\infty$

$lim_{x\rightarrow 2}f(x)=lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=lim_{x\rightarrow 2}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{4}$

$lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x+2}=0$

$lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x+2}=0$

Assim temos que esta função tem três assintotas, uma em x = -2 e outras duas horizontais nos infinitos, e podemos ver elas no gráfico em anexo.