Question

A velocidade v(t) de uma gota de chuva
caindo no instante t é
v(t) = v* (1 - e^-gt/v)

a) Encontre lim v(t) "quando t tende ao infinito". O que esse limite significa?

b) Considere v* = 1 m/s e g = 9,8 m/s2. Quanto tempo
levará para a velocidade da gota atingir 99% de sua
velocidade final?​

Answer 1

Resposta:

a) v*

b) 0,47 s

Explicação:

Função:

$v(t) = v * (1 - e^{(\frac{-gt}{v^*})})$

a) Quando o t tende ao infinito, temos que v(t) tende a v, observe:

$v(t) = v * (1 - e^{(\frac{-gt}{v})}) = \\\\v * (1 - lim_{t\to\infty}e^{(\frac{-gt}{v})})= \\\\v * (1 - lim_{t\to\infty}e^{-\infty}) = \\\\v * (1-0) = \\\\v*$

b) Para que a velocidade atinja 99% de sua velocidade final, então v(t) = 0,99 v = 0,99.

$v(t) = v * (1-e^{({\frac{-gt}{1})}})=\\\\0,99v = v * (1-e^{({\frac{-gt}{1})}})=\\\\0,99 = (1-e^{({\frac{-gt}{1})}})=\\\\e^{-gt}= 0,01\\\\ln(0,01) = -gt \\\\t = -\frac{ln(0,01)}{g} \Rightarrow t \approx -\frac{-4,6}{9,8} \approx 0,47 s$