Question

Se em um trapézio a soma dos lados oblíquos mede 16cm qual e o perímetro desse trapézio sabendo que ele é circunscritível

Answer 1

Primeiro vamos definir o que é um polígono circunscritível e o que é um polígono inscritível.
Os dois termos ser referem à posição de um polígono com relação a uma circunferência.
1. Quando o polígono tem seus vértices pertencentes a uma circunferência, ele está inscrito na circunferência, todos os seus lados são internos à circunferência e, portanto, ele é inscritível  à circunferência.
2. Quando o polígono tem seus lados tangentes a uma circunferência, ele tem em comum com a circunferência apenas os pontos de tangência. Todos os demais pontos do polígono são externos à circunferência e ele está circunscrito à circunferência.
A situação proposta na questão é a segunda. 
Outro detalhe importante é que, em qualquer uma das duas situações, se for um trapézio o polígono inscrito ou circunscrito à circunferência, o trapézio será sempre isósceles (os dois lados não paralelos serão sempre iguais.

Para obtermos a solução da questão, vamos fazer uma consideração preliminar:
- Se tivermos uma circunferência de centro O e um ponto externo a ela (A), por este ponto poderemos traçar duas retas tangentes à circunferência. Os segmentos determinados pelo ponto A e pelos dois pontos de tangência (T e T') terão o mesmo comprimento: AT = AT'.
Para obtermos estes dois pontos (T e T'), deveremos traçar o segmento AO, que une o ponto externo à circunferência (A) e o centro da circunferência (O). A seguir, com a ponta seca do compasso (aquela que parece um alfinete) no ponto médio (M) do segmento AO, deveremos traçar outra circunferência que irá interceptar a primeira nos pontos T e T', que são os pontos de tangência das retas traçadas por A à circunferência.
Se considerarmos os dois triângulos que obtivemos com este traçado (ATO e AT'O), vamos verificar que os dois são congruentes:
- O lado AO é comum aos dois, os lados OT e OT' são iguais, pois são os raios da circunferência e os ângulos ATO e AT'O medem cada um 90º, pois os segmentos AT e AT' são tangentes à circunferência e uma reta tangente a uma circunferência é sempre perpendicular ao raio no ponto de tangência.
Então, os segmentos AT e AT' são congruentes (tem a mesma medida). Isto acontece para quaisquer tangentes traçadas por um ponto externo a uma circunferência.

Vamos agora, então, à solução da questão:
- Suponhamos o problema resolvido. Seja o trapézio definido pelos pontos A, B, C e D, de tal forma que AB e CD sejam as suas bases paralelas e AD e BC os lados iguais, oblíquos. Sejam os pontos de tangência dos lados na circunferência os pontos P, Q, R e S:
P entre A e B; Q entre B e C; R entre C e D; S entre D e A.
De acordo com o que vimos acima, a distância do ponto A aos pontos de tangência sobre a circunferência (P e S), são iguais:
AP = AS
Da mesma forma, as distâncias dos pontos B, C e D aos respectivos pontos de tangência são também iguais (1):
BP = BQ
CQ = CR
DR = DS

Os lados do trapézio são (2):
AB = AP + PB
BC = BQ + QC
CD = CR + RD
DA = DS + SA
Como sabemos que os lados oblíquos são iguais entre si, pois são lados do trapézio que é isósceles, temos:
BC = DA
A soma BC + DA é igual a 16 cm, segundo o enunciado do problema.
Então, 
BC = 8 cm
DA = 8 cm
Se verificarmos as igualdades que existem em (1) e (2), acima, concluímos que a soma dos lados não oblíquos (BC e DA) é igual à soma das bases (AB e CD):
BC + DA = AB + CD
Como
BC + DA = 16 cm,
AB + CD = 16 cm,

O perímetro do trapézio é, então, igual à soma destes quatro lados, ou seja, 32 cm.