Question

(Fuvest) Os comprimentos dos lagos de um triângulo ABC formam uma PA. Sabendo-se também que o perímetro de ABC vale 15 e que o ângulo  mede 120°, então o produto dos comprimentos dos lados é igual a 25, 45, 75, 105 ou 125?

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

( x - r + x + ( x + r ) = 15

3x = 15 

x = 15/3

x = 5

x - r = 5 - r

x = 5

x + r = 5 + r

Pelo Teorema dos Cossenos lembrando que Cos 120 graus = - 0,5

( 5 + r)² = 5² + ( 5 - r)² - [2 * 5 * ( 5 - r)] *[ ( - 0.5)]

25 + 10r + r² =25 +  ( 25 - 10r + r²) - 10 ( 5-r ) * [ -0,5]

25 + 10r + r² = 25 + ( 25 - 10r + r² ) - ( 50 - 10r) * [-0,5 ]

25 + 10r + r² = 25 + ( 25 -10r + r² ) - ( -25 + 5r)

25 + 10r + r² = 25 + 25 - 10r +r² + 25 - 5r 

r² - r² + 10r + 10r + 5r + 25 - 25 - 25 - 25 = 0

25r - 50 = 0

25r = 50

r = 50 / 25

r = 2

5 - r  = 5 - 2 = 3  ( ângulo 1)

5 ( ângulo 2)

5 + r = 5 + 2 = 7 ( ângulo 3 )

Produto --> 3 * 5 * 7 = 105