Question

Usando os Princípios aditivo e multiplicado determine a quantidade
de números compreendidos entre 0 e 10000 que verificam:
(a) os dígitos são todos diferentes sendo que os dígitos pares e os ímpares
aparecem alternados. Por exemplo, os números 0, 10, 23, 1034
devem ser contados mas não 13 ou 241. Justifique;
(b) os dígitos podem estar repetidos mas não têm 2 (dois) dígitos
consecutivos iguais. Por exemplo, 1010 deve ser contado mas não
110. Justifique.

Answer 1

Resposta:

a)

Explicação passo-a-passo:

Note que é preciso fazer as possibilidades dígito a dígito e separar em comjuntos pares e ímpares:

P={0,2,4,6,8}

I={1,3,5,7,9}

e faça as possibilidades:

digitos:

____ ____ ____ ____

10 = 10

p 4 x 5 = 20

i 5 x 5 = 25

p 4 x 5 x 4 = 80

i 5 x 5 x 4 = 100 (somar os result de produtos)

p 4 x 5 x 4 x 4 = 320

i 5 x 5 x 4 x 4 = 400

___________________________________

955 possibilidades de números

b)

Mais simples que a anterior, porém basta seguir a mesma lógica:

___ ___ ___ ___

10 10

9 x 9 81

9 x 9 x 9 729 (soma)

9 x 9 x 9 x 9 6561

____________________________

7381 números possíveis

Answer 2

Os valores serão de 955 e 7381 números, respectivamente.

Os princípios aditivos e multiplicativos na análise combinatória são utilizados através dos conectivos "ou" e "e".

O conectivo "ou" aditivo representa o caso em que ao menos uma de duas proposições são verdadeiras, excluindo apenas o caso em que ambas são falsas. Já o conectivo "e" multiplicativo represento o caso em que as duas proposições são verdadeiras ao mesmo tempo.

a) Para resolver o primeiro desafio as proposições 1 e 2 devem ocorrer ao mesmo tempo (ambas verdadeiras):

1. os números devem ser todos diferentes

2. os números devem ter pares e ímpares alternados

Pares = {0, 2, 4, 6, 8}

Ímpares = {1, 3, 5, 7, 9}

Logo, teremos a aplicação do princípio multiplicativo. Pois, as duas proposições deve ser verdadeiras. Como vamos analisar os valores entre [0,10.000] teremos que calcular separadamente a quantidade de números que atendem os requisitos para os valores com 1, 2, 3 e 4 algarismos.

Para 1 algarismo (0 a 9) : _ , teremos 10 números

Para 2 algarismos (10 a 99): _ _

Começando com um número par, exceto 0: 4 pares * 5 ímpares = 20

Começando com um número ímpar: 5 ímpares * 5 pares = 25

Total de 20 + 25 = 45 números

Para 3 algarismos (100 a 999): _ _ _

Começando com um número par, exceto 0 e excluindo o caso em que os números pares se repetem: 4 pares * 5 ímpares * 4 pares=  4 * 5 * 4 = 80

Começando com um número ímpar: 5 * 5 * 4 = 100

Total de 80 + 100 = 180 números

Para 4 algarismos (1000 a 9999): _ _ _

Começando com um número par: 4 * 5 * 4 * 4 = 320

Começando com um número ímpar: 5 * 5 * 4 * 4 = 400

Total de 320 + 400 = 720 números

Somando os totais temos 10 + 45 + 180 + 720 = 955 números

b)  Agora não teremos a restrição de números pares e ímpares, os números apenas não devem ter 2 dígitos  consecutivos iguais.

Para 1 algarismo (0 a 9) : _ , teremos 10 números

Para 2 algarismos (10 a 99): _ _, teremos 9 * 9 = 81 números

Começa com 9 possibilidades pois o zero não dever ser considerado no primeiro caso.

Para 3 algarismos (100 a 999): _ _ _, 9 * 9 * 9 = 729 números

Começa com 9 possibilidades pois o zero não dever ser considerado no primeiro caso. E as outras são 9 pois o número não pode se repetir de forma consecutiva.

Para 4 algarismos (1000 a 9999): _ _ _, 9 * 9 * 9 * 9 = 6561 números

Somando os totais temos 10 + 81 + 729 + 6561 = 7381 números.

Espero ter ajudado!