Question

Seja S = {(x,y,z) ∈ R³ ; 3x - z = 0}


a) Mostre que S é um subespaço vetorial do R³ relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar trivial.


b) Determine uma base a dimensão de S.


c) O que representa geometricamente S?


Com os cálculos que provem

Obrigada

Answer 1

Utilizando conceitos de bases e vetores de algebra linear, temos que:

a) S é gerado por vetores de R³, logo, é subespaço de R³.

b) S: [(1,0,3);(0,1,0)].

c) Representa um plano.

Explicação passo-a-passo:

Este é um conjunto até relativamente simples, vamos primeiramente expressar o vetor que faz parte deste conjunto:

$v=\left[\begin{array}{c}x\\y\\z \end{array}\right]$

Porém sabemos que x e z estão interligalidos por:

$3x-z=0$

Ou:

$z=3x$

Assim substituindo isto no vetor geral acima:

$v=\left[\begin{array}{c}x\\y\\3x \end{array}\right]$

Assim considerando x e y constantes arbitrárias, temos que:

$v=\left[\begin{array}{c}x\\y\\3x \end{array}\right]$

$v=x.\left[\begin{array}{c}1\\0\\3 \end{array}\right]+y.\left[\begin{array}{c}0\\1\\0 \end{array}\right]$

Ou seja, se  x e y são constantes arbitrárias neste vetor, então o vetor v definido do espaço S é na verdade um combinação linear dos vetores (1,03) e (0,1,0). Como estes dois vetores não são linearmente dependentes e pertencem ao espaço de R³, então S é de fato um subespaço de R³, pois é gerado por vetores de R³.

A base do espaço S é exatamente os vetores que nós encontramos, ou seja:

$S:\left\{ \left[\begin{array}{c}1\\0\\3 \end{array}\right];\left[\begin{array}{c}0\\1\\0 \end{array}\right]\right\}$

E como sabemos um espaço gerado por dois vetores é denominado de plano.

Assim temos as três respostas desejadas:

a) Mostre que S é um subespaço vetorial do R³ relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar trivial.

S é gerado por vetores de R³, então é subespaço de R³.

b) Determine uma base a dimensão de S.

$S:\left\{ \left[\begin{array}{c}1\\0\\3 \end{array}\right];\left[\begin{array}{c}0\\1\\0 \end{array}\right]\right\}$

c) O que representa geometricamente S?

Representa um plano.