Question

Faça o gráfico da função f(x) = x² -11x+30, determinando o seu conjunto imagem

Answer 1

Δ= b² - 4ac                                       x= -b +/- √Δ/2a

Δ= (-11)² - 4 (1) (30)                        x= - (-11) +/- √1/ 2(1)

Δ= 121 - 120                                    x'= 11 + 1/ 2*1    x'= 12/2 = 6

Δ= 1                                                 x" 11 - 1/2*1       x"= 10/2 = 5

O 30 e o termo independente (y) então o seu conjunto imagem vai ser: (6,30) , (5,30)

Answer 2

O conjunto imagem é o conjunto de valores que tornam a imagem verdadeira.
Para encontrar o conjunto, basta encontrar o vértice do eixo Y, utilizando a seguinte função:

$Y_v=\dfrac{-\Delta}{4a}\\\\ Y_v=\dfrac{-(b^2-4.a.c)}{4a}\\\\ Y_v=\dfrac{(-(-11)^2-4.(1).(30))}{4(1)}\\\\ Y_v=\dfrac{-(121-120)}{4}\\\\ Y_v=\dfrac{-1}{4}\\\\ \boxed{Y_v=-0,25}$

Como o valor de a é positivo, então a parábola é voltada para cima, portanto o valor do vértice no eixo y é o ponto menor da imagem.

Assim, o conjunto imagem será:

$S=\{\ y\in\mathbb{R}\ /\ y \geq -0,25\ \}$

Para demonstrar melhor, segue em anexo o gráfico da função (em vermelho) com a reta tangente (em verde) e o ponto do vértice (em azul).

Espero ter ajudado.
Bons estudos!