Question

seja um plano definido pela função z=x+2y na integral dupla que mais interna dx que vai 2 a 3 e a integral mais externa dy que vai 1a 2 .

Qual sua interseção xz ? .

Qual sua interseção yz ?.

Qual a superfície que este gráfico gerará ?.

Qual o valor da integral ? resposta 11/2

$\int\limits^2_1\int\limits^3_2(x+2y) \, dx dy$
sendo que valor da integral seja 11/2

Answer 1

Utilizando integrais duplas em regiões retangulares do plano, temos que esta equação forma um plano, e sua integral vale 11/2.

Explicação passo-a-passo:

Qual sua interseção xz ?

Esta equação dada é a equação de um plano, e assim podemos definir também uma intersecção com o plano xz, que é dada pela equação:

$y=0$ (Plano xz)

Então substituindo esta na nossa equação:

$z=x+2y$

$z=x+2.0$

$z=x$

Assim temos que a intersecção com o plano xz é a reta dada pela equação $z=x$.

Qual sua interseção yz ?

Da mesma forma, porém desta vez o plano yz é determinado pela equação:

$x=0$ (Plano yz)

Substituindo na nossa equação:

$z=x+2y$

$z=0+2y$

$z=2y$

Assim temos que esta intersecção é dada pela reta de equação $z=2y$.

Qual a superfície que este gráfico gerará ?

Assim como dito anteriormente, está é a equação de um plano, que temo forma geral dada por:

$C.z-z_0=A.x+B.y$

Qual o valor da integral ?

Então temos a seguinte integral para fazer:

$\int_{1}^{2}\int_{2}^{3}(x+2y)dxdy$

Então vamos primeiramente fazer a integral em x:

$\int_{1}^{2}\left(\int_{2}^{3}(x+2y)dx\right)dy$

$\int_{1}^{2}\left(\left[\frac{x^2}{2}+2yx\right]_{2}^{3}\right)dy$

$\int_{1}^{2}\left(\left[\frac{3^2}{2}+2y.3-\frac{2^2}{2}-2y.2\right]\right)dy$

$\int_{1}^{2}\left(\left[\frac{5}{2}+2y\right]\right)dy$

$\int_{1}^{2}\left(\frac{5}{2}+2y\right)dy$

Agora podemos fazer a segunda integral em y:

$\int_{1}^{2}\left(\frac{5}{2}+2y\right)dy$

$\left[\frac{5}{2}y+y^2\right]_{1}^{2}$

$\left[\frac{5}{2}.2+2^2-\frac{5}{2}.1-1^2\right]$

$\left[\frac{5}{2}+3\right]$

$\left[\frac{5}{2}+\frac{6}{2}\right]$

$\left[\frac{5+6}{2}\right]$

$\left[\frac{11}{2}\right]$

Assim temos que o resultado desta integral é de 11/2.