Question

Ao se analisar campos vetoriais, algumas características são de grande interesse para sua classificação como sendo conservativos ou não conservativos. Considere o campo vetorial abaixo:

Estão corretas:

Apenas I, II e III.
Apenas I, II e IV.
Apenas II e III.
Apenas I e IV.
Apenas I e III.


Me ajudem por favor!

Answer 1

Resposta:

Alternativa A

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

A alternativa A está correta, sendo as afirmações I, II e III corretas e a afirmação IV falsa.

O que é um campo vetorial conservativo?

• É um campo vetorial que é o gradiente de um campo escalar.

• É um campo conservativo sendo sua integral de linha independente do caminho.

Em outras palavras, o campo conservativo representa as forças de um sistema físico onde a energia é conservada.

Alguns exemplos de campos conservativos são:

• A gravidade
• Campo elétrico fora da ação de campos magnéticos.

Afirmação 1 - Como calcular a integral de linha sobre r(t)?

O campo vetorial do enunciado é definido por:

• $F(x,y) = (2,2y)$

O caminho r(t) é definido por:

• $r(t)=(t,2t), 0 \leq t\leq 1$

A integral de linha sobre r(t) é dada por:

$\int\limits_r {F} \, dr= \int\limits^1_0 {F(t,2t)*(1,2)} \, dt =\int\limits^1_0 {(2,4t)*(1,2)} \, dt = \int\limits^1_0 {(2+8t)} \, dt$

$= (2t+4t^2)|^1_0 = 2 +4=6$

Portanto, a afirmação 1 está correta.

Afirmação 2 - Como calcular a integral de linha sobre c(t)?

O campo vetorial do enunciado é definido por:

• $F(x,y) = (2,2y)$

O caminho c(t) é definido por:

• $c(t)=(t^3,2t^2), 0 \leq t\leq 1$

A integral de linha sobre c(t) é dada por:

$\int\limits_r {F} \, dr= \int\limits^1_0 {F(t,2t)*(1,2)} \, dt =\int\limits^1_0 {(2,4t)*(1,2)} \, dt = \int\limits^1_0 {(2+8t)} \, dt$

   $= (2t+4t^2)|^1_0 = 2 +4=6$

Portanto, a afirmação 2 está correta.

Afirmação 3 - Como determinar se o campo é conservativo?

Um campo conservativo é aquele cuja integral de linha não dependa do caminho. Como a integral de linha r(t) e a integral de linha c(t) resultaram no mesmo valor, podemos afirmar que o campo é conservativo.

Portanto, a afirmação 3 está correta.

Afirmação 4 - Integral de linha sobre uma curva fechada.

Como o campo é conservativo, o valor da sua integral de linha independe do caminho escolhido. Portanto, sobre uma curva fechada a integral de linha terá valor 6.

Portanto, a afirmação 4 está incorreta.

Concluímos que a alternativa A está correta, as afirmações I, II e III estão verdadeiras e a afirmação IV é falsa.

Aprenda mais sobre integral de linha em:

https://brainly.com.br/tarefa/27002445

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