Respostas
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da P.A. (2, 4, 6, 8, 10, ...), tem-se:
a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 2
b)ducentésimo quadragésimo segundo termo (a₂₄₂): ?
c)número de termos (n): 242 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 242ª), equivalente ao número de termos.)
d)Embora não se saiba o valor do ducentésimo quadragésimo segundo termo, apenas pela observação dos três primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 4 - 2 ⇒
r = 2
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o ducentésimo quadragésimo segundo termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₂₄₂ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₂₄₂ = 2 + (242 - 1) . (2) ⇒
a₂₄₂ = 2 + (241) . (2) ⇒ (Veja a Observação 2.)
a₂₄₂ = 2 + 482 ⇒
a₂₄₂ = 484
Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).
Resposta: O 242º termo da P.A(2, 4, 6, 8, 10, ...) é 484.
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo a₂₄₂ = 484 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o ducentésimo quadragésimo segundo termo realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₂₄₂ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
484 = a₁ + (242 - 1) . (2) ⇒
484 = a₁ + (241) . (2) ⇒
484 = a₁ + 482 ⇒ (Passa-se 482 ao 1º membro e altera-se o sinal.)
484 - 482 = a₁ ⇒
2 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 2 (Provado que a₂₄₂ = 484.)
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