Respostas
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da P.A. (3, 6, 9, 12, 15, ...), tem-se:
a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 3
b)quingentésimo termo (a₅₀₀): ?
c)número de termos (n): 500 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 500ª), equivalente ao número de termos.)
d)Embora não se saiba o valor do quingentésimo termo, apenas pela observação dos três primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 6 - 3 ⇒
r = 3
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o quingentésimo termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₅₀₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₅₀₀ = 3 + (500 - 1) . (3) ⇒
a₅₀₀ = 3 + (499) . (3) ⇒ (Veja a Observação 2.)
a₅₀₀ = 3 + 1497 ⇒
a₅₀₀ = 1500
Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).
Resposta: O 500º termo da P.A(3, 6, 9, 12,15, ...) é 1500.
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo a₅₀₀ = 1500 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o quingentésimo termo realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₅₀₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
1500 = a₁ + (500 - 1) . (3) ⇒
1500 = a₁ + (499) . (3) ⇒
1500 = a₁ + 1497 ⇒ (Passa-se 1497 ao 1º membro e altera-se o sinal.)
1500 - 1497 = a₁ ⇒
3 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 3 (Provado que a₅₀₀ = 1500.)
Espero haver lhe ajudado e bons estudos!
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