Question

As propriedades aritméticas e as relativas à noção de ordem desempenham um importante papel no estudo dos números reais. Nesse contexto, qual das afirmações abaixo é correta?

#FUVEST

Answer 1

letra e) para todo $a$ tal que $0<a<1$ teremos $a^2<\sqrt{a}$.

Podemos ver (mas não provar) isto de duas formas.

A primeira é pela observação do gráfico.

Pelo gráfico vemos que a raiz de um número entre 0 e 1 sempre será maior do que o quadrado deste mesmo número.

A segunda forma é pela representação de frações e pegando exemplos.

o número $a=\frac{1}{100}$ ao ser elevado a quadrado resultará em $a^2=\frac{1}{10000}$

E se for tirado a raíz, dará $\sqrt{100}=\frac{1}{10}$.

Vamos agora analisar por que as outras alternativas estão erradas:

a) falso $\sqrt{1+1}=\sqrt2$ e $\sqrt{1}+\sqrt{1}=2$ portanto esta letra diz que $\sqrt{2}=2$ e isto é falso.

b) falso $a^2-b^2=0$ é verdadeiro para $b=\pm a$.

Portanto podemos ter $a^2- (-a)^2=0$ e ter $a\neq-a$

c) falso pois $\sqrt{(-a)^2}\neq -a$

d) falso porque para $a=-2$ e e$b=-1$ teremos $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$ porque $\frac{-1}{2}<\frac{-1}{1}$

ou seja, teríamos -0,5<-1 e isto é absurdo.