Question

O menor inteiro positivo que devemos adicionar a 987 para que a soma seja o quadrado de um número inteiro positivo é

Answer 1

Resposta: 37.

Explicação passo-a-passo:

Questão da FUVEST-SP. As alternativas são A) 37 B) 36 C) 35 D) 34 E) 33.

Método 01: aproximações sucessivas

Uma das possibilidades de resolver essa questão sem usar calculadora é com aproximações sucessivas. "Como assim?"

O método consiste em descobrir o quadrado de vários números fáceis de calcular, com a finalidade de descobrir qual será o número que satisfaz o que buscamos.

$\begin{array}{r|r} 10^2=1\times1\times10^2=100&31^2=961\\ 20^2=2\times2\times10^2=400&\star~~32^2=1.024\\ \star~~30^2=3\times3\times10^2=900\\ 40^2=4\times4\times10^2=1.600 \end{array}$

Tem-se que maior valor inteiro próximo que retorna raiz exata é 1.024. Agora, basta uma simples equação:

$\mathtt{987+x=32^2}\\\\ \mathtt{987+x=1024}\\\\ \mathtt{x=1024-987}\\\\ \mathtt{x=37}$

A resposta correta é 37.

Método 02: algoritmo para calcular raiz não exata

Esse método começa de forma semelhante ao anterior, mas tem como intuito conhecer aproximadamente o valor da raiz de 987. É possível calcular a aproximação de uma raiz quadrada usando o seguinte algoritmo:

$\mathtt{\sqrt{n}=\dfrac{n+qp}{2\sqrt{qp}}}\\\\ \\\therefore\begin{cases} \mathtt{n:}&\mathtt{n\acute{u}mero~inicial}\\\\ \mathtt{qp:}&\mathtt{quadrado~perfeito~pr\acute{o}ximo} \end{cases}$

Nesse momento, o valor de n será 987. O quadrado perfeito próximo pode ser descoberto de forma simples:

$\begin{array}{r|r} 10^2=1\times1\times10^2=100\\ 20^2=2\times2\times10^2=400\\ \star~~30^2=3\times3\times10^2=900\\ 40^2=4\times4\times10^2=1.600 \end{array}$

O quadrado perfeito mais próximo é 300. Assim, teremos:

$\mathtt{\sqrt{n}=\dfrac{n+qp}{2\sqrt{qp}}}\\\\\\ \mathtt{\sqrt{987}=\dfrac{987+900}{2\sqrt{900}}=\dfrac{1.887}{2\times30}=\dfrac{1.887}{60}=31,45}$

Esse valor aproximado deixa claro que o próximo quadrado perfeito a ser alcançado é o quadrado de 32, então:

$\mathtt{987+x=32^2}\\\\ \mathtt{987+x=1024}\\\\ \mathtt{x=1024-987}\\\\ \mathtt{x=37}$

A resposta correta é 37.

Pensando em praticidade, o melhor método é o primeiro. Aproximações sucessivas com multiplicações tendem a ser mais rápidas que divisões.