Em 18 de junho de 2016, foi lançado o foguete Ariane 5 ECA, que transportava o satélite de comunicação EchoStar XVIII, com o objetivo de transferi-lo para uma órbita geoestacionária. As órbitas geoestacionárias são aquelas em que o período de revolução do satélite é de 24 h, o que corresponde a seu posicionamento sempre sobre um mesmo ponto da superfície terrestre no plano do Equador. Considere o raio R1 da órbita desse satélite como sendo de 42.000 km. Em 15 de setembro de 2016, foi lançado o foguete Vega, transportando os satélites SkySats, denominados de 4 a 7 (satélites de uma empresa do Google), para mapeamento com alta precisão da Terra inteira. A altitude da órbita desses satélites, em relação à superfície terrestre, é de 500 km. Considerando o raio da terra como sendo de aproximadamente 6500 km e que a velocidade de um satélite, tangencial à órbita, pode ser calculada pela raiz quadrada do produto da constante gravitacional G pela massa M da terra dividida pelo raio da órbita do satélite, determine: (Obs.: Não é necessário o conhecimento dos valores de G e M e todos os cálculos devem ser claramente apresentados. Alguns dos valores estão com aproximações por conveniência de cálculo. Não é necessário determinar os valores das raízes quadradas, basta deixar os valores numéricos, após os devidos cálculos, indicados no radical.) a) O valor numérico da velocidade V2 do satélite EchoStar XVIII, em relação à velocidade V1 de um dos satélites SkySatsb) O valor do período T2 dos satélites SkySats, em horas, por aplicação da terceira Lei de Kepler.
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Respostas
a) O valor numérico da velocidade do satélite EchoStar XVIII, em relação à velocidade de um dos satélites SkySats é V₂/V₁ = √6
b) O valor do período T2 dos satélites SkySats é de 1,63 horas.
De acordo com Newton, a força de atração gravitacional seria diretamente proporcional às massas dos dois corpos e inversamente proporcional ao quadrado da distância que separasse seus centros de gravidade.
F = G· M·m/R²
A força de atração gravitacional equivale à força resulatnete centrípeta.
Fc = m.V²/R
Fc = F
m.V²/R = G· M·m/R²
V² = G· M/R
V = √G· M/R
Dessa forma, podemos calcular a razão entre as velocidades -
V₂/V₁ = √G· M/R₂/√G· M/R₁
V₂/V₁ = √R₁/√R₂
V₂/V₁ = √42000/√7000
V₂/V₁ = √6. √7000/√7000
V₂/V₁ = √6
A relação entre os raios das órbitas e os períodos dos planetas é dada pela terceira lei de Kepler:
T²/R³ = T'²/R'³
24²/42000³ = T²/7000³
T = 1,63 horas