Question

Responda às seguintes perguntas a respeito da função ????(????) = ????????−???? /????−????????∶ a) Qual é o domínio de ????? b) Qual é a inversa de ?????

#UFPR
#VESTIBULAR

Answer 1

Para alternativa a) e b), respectivamente teremos: D(g)= { x ∈ R | x ≠ 1/4} ou pode representar como D(g) = R - {1/4} ; G^-1 (x) = x + 4 / 3 + 4x.

Vamos aos dados/resoluções:  

É sabido que para alternativa a) A função g(x) é uma fração, portando como não pode haver divisão por 0, o valor do denominador tem que ser diferente de 0. Essa é a única restrição para a função, pois o numerador pode possuir qualquer valor.

Assim, o domínio de g(x) é:

1 - 4x ≠ 0

- 4x ≠ - 1

x ≠ 1/4

Ou seja, x pode ser qualquer valor, exceto 1/4, pois quando x = 1/4 o denominador zera. Vide:

1 - 4x  ⇒  1 - 4(1/4)  ⇒  1 - 4/4  ⇒  1 - 1 ⇒ 0 (isso não pode ocorrer)

Portanto, o domínio de g(x) é:

D(g)= { x ∈ R | x ≠ 1/4} ou pode representar como D(g) = R - {1/4}

Para alternativa b) temos que a função inversa g^-1 (x). Vamos chamar g(x) de y só pra equação ficar mais organizada, logo teremos:  

y = 3x - 4 / 1 - 4x ;  

Primeiramente, isolaremos x:  

Y = 3x - 4 / 1 - 4x ; 3x - 4 = y (1 - 4x) = 3x - 4 = y - 4xy ;  

3x + 4xy = y + 4 ;  

x (3 + 4y) = y + 4 ;  

x = y + 4 / 3 + 4y ;  

Agora inverteremos a relação: trocamos o x por y por x;  

X = y + 4 / 3 + 4y ;  

y = x + 4 / 3 + 4x ;  

Portanto, a inversa de g(x) é:  

G - 1 (x) = x + 4 / 3 + 4x ;  

Se preferir (acho mais fácil) pode fazer a inversão diretamente na função original e então isolar o y:  

y = 3x - 4 / 1 - 4x ;  

x = 3y - 4 / 1 -4y ;  

Finalizando então:  

3y - 4 = x (1 - 4y) ;  

3y - 4 = x - 4xy = 3y + 4xy = x + 4 ;  

y (3 + 4x) = x + 4 ;  

y = x + 4 / 3 + 4x;

Encontramos o mesmo resultado:  

g^-1 (x) = x + 4 / 3 + 4x.

espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)