Question

Calcular a integral da função f(x,y)=x^2+2y^2 ao longo da circunferência unitária α(t)=(cos⁡(t),sen(t)) com t ϵ[0,2π].

Answer 1

Utilizando integral de caminho parametrizado, temos que esta integral tem o valor total igual a 3π.

Explicação passo-a-passo:

Integral de caminho é definida por:

$I=\int_{t_0}^{t_f}f(x(t),y(t))\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt$

Substituindo então nossos valores na integral:

$\frac{dx}{dt}=-sen(t)$

$\frac{dy}{dt}=cos(t)$

$I=\int_{0}^{2\pi}[x^2+2y^2]\sqrt{\left(-sen(t)\right)^2+\left(cos(t)\right)^2}\,dt$

Usando propriedade trigonometrica da soma dos quadrados de seno e cosseno:

$I=\int_{0}^{2\pi}[cos^2(t)+2sen^2(t)]\sqrt{1}\,dt$

$I=\int_{0}^{2\pi}[1 + sen^2(t)]\,dt$

Usando propriedade de arco metade:

$I=\int_{0}^{2\pi}[1 + \frac{1-cos(2t)}{2}]\,dt$

$I=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}[2 + 1 - cos(2t)]\,dt$

$I=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}[3 - cos(2t)]\,dt$

Integrando esta função ficamos com:

$I=\frac{1}{2}\left[3t - \frac{sen(2t)}{2}\right]_{0}^{2\pi}$

$I=\frac{1}{2}\left[3.(2\pi)-3.(0) - \frac{sen(2.2\pi)}{2}+\frac{sen(2.0)}{2}\right]$

$I=\frac{1}{2}\left[6\pi-0 - 0+0\right]$

$I=3\pi$

Assim temos que esta integral tem o valor total igual a 3π.