Respostas
Resposta:
y' = 4cos⁴x -2sen²(2x) - 4cos²x sen²x
Explicação passo-a-passo:
y' = (2 × cos²x × sen2x)'
A constante sai derivação:
y' = 2 × (cos²x × sen2x)'
Para facilitar, vamos escrever assim:
y' = 2 × (cosx × cosx × sen2x)'
Temos que utilizar a regra do produto. Vamos chamar:
u = cosx
v = cosx
w = sen2x
Temos, pela regra, que:
y = u × v × w
y' = u' v w + u v' w + u v w'
Aplicando:
y' = 2 [(cosx)' × cosx × sen2x + cosx × (cosx)' × sen2x + cosx × cosx × (sen2x)']
Vamos calcular as derivadas separadamente:
- (cosx)' = - senx
No segundo caso, precisaremos usar a regra da cadeia:
(sen2x)' =
A gente deriva o que tá a função normalmente e multiplica pela derivada do que tá dentro. Em outras palavras:
w = sen2x
w' = cos2x × (2x)'
w' = cos2x × 2
w' = 2cos2x
Substituindo:
y' = 2 [ (-senx) × cosx × sen2x + cosx × (-senx) × sen2x + cosx × cosx × 2cos(2x)]
y' = 2 × [ 2 × (-senx) × cosx × sen2x + 2cos²x × cos(2x)]
y' = - 2 × 2 × senx × cosx × sen2x + 4 × cos²x × cos(2x)
como: cos2x = cos²x - sen²x
y' = - 2 × 2 × senx × cosx × sen2x + 4cos²x × (cos²x - sen²x)
Uma relação trigonométrica importante é:
sen2x = 2 × senx × cosx
Vamos substituir o 2senxcosx por sen2x.
Então:
y' = - 2sen2x × sen2x + 4cos⁴x - 4cos²x sen²x
y' = - 2sen²2x + 4cos⁴x - 4cos²x sen²x
y' = 4cos⁴x - 2sen²2x - 4cos²x sen²x
outra forma de fazer:
y = 2 × cos²x × sen2x
y' = 2 × (cos²x × sen2x)'
Vamos usar a regra do produto, mas agora para duas funções:
u = cos²x
v = sen2x
Pela regra, temos:
y' = uv' + vu'
y' = 2 [(cos²x) × (sen2x)' + (sen2x) × (cos²x)']
Vamos fazer as derivadas separadas e depois substituir:
(sen2x)'= 2 × cos2x (como já vimos anteriormente)
(cos²x)' = - sen2x
tá na dúvida? vou te provar!
u = cos²x
u = cosx × cosx
Usando regra do produto:
u' = cosx × (cosx)' + (cosx) × (cosx)'
u' = cosx × -senx + cosx - senx
u'= -2 × senx × cosx
note que 2 senx cosx = sen2x (relação trigonométrica)
Então, podemos escrever:
u' = - sen(2x)
Substituindo:
y' = 2 [cos²x × 2 × cos2x + sen2x × -sen2x]
y' = 2 [2 × cos²x × cos2x -sen²(2x)]
Lembre que:
cos2x = cos²x - sen²x
y' = 2 [2 × cos²x × (cos²x - sen²x) -sen²(2x)]
y' = 2 [2 cos⁴x - 2cos²x sen²x -sen²(2x)]
y' = 4cos⁴x - 4cos²x sen²x - 2sen²(2x)
Arrumando só pra deixar igual ao outro:
y' = 4cos⁴x - 2sen²(2x) - 4cos²x sen²x
