Question

Dados os subespaços S = {(x,0,z) pertencente a R3} e T = {(0,y,2y) pertencente a R3} podemos afirmar que:
A S + T = (x, y, z + 2y) e S intersecção T = (0,0,2y), portanto, R3 é soma direta de S e T.

B S + T = (x, y, z + 2y) e S intersecção T = (0,0,2y), portanto, R3 não é soma direta de S e T.

C S + T = (x, y, z + 2y) e S intersecção T = (0,0,0), portanto, R3 é soma direta de S e T.

D S + T = (x, y, z + 2y) e S intersecção T = (0,0,0), portanto, R3 não é soma direta de S e T.

E S + T = (x, 2y, z + 2y) e S intersecção T = (0,0,0), portanto, R3 é soma direta de S e T.

Answer 1

Resposta:

Alternativa  C

Explicação passo-a-passo:

Qualquer elemento de S+T é uma soma de um elemento de S com um elemento de T. Ou seja, é da forma (x,0,z) + (0,y,2y) = (x,y,z+2y)

Assim, S+T = {(x,y,z+2y); x,y,z ∈ R} = R³

Por outro lado, se um vetor v pertence a S∩T então

v = (x,0,z) para algum x,z

v = (0,y,2y) para algum y

Comparando as duas expressões para v, temos y = 0 e consequentemente v = (0,0,0). Assim, esse é o unico elmeento de S∩T.

Para finalizar, a soma de dois espaços com interseção trivial é direta. Como dimS = 2 e dim T = 1 segue que dim (S+T) = 3, portanto S+T = R³