Question

Considere as retas r e s representadas no plano cartesiano abaixo. a) Escreva a equação da reta r. b) Qual deve ser o coeficiente angular da reta s, de modo que ela divida o triângulo cinza em dois triângulos com áreas iguais? Justifique sua resposta

#UFPR
#VESTIBULAR

Answer 1

a)  a equação é $y=-\frac{3}{4}x+3$

Sabemos que quando x=0, temos y=3 P($x_0,y_0$)=(0,3)

Sabemos também que quando x=4, temos y=0 Q($x,y$)=(4,0)

Uma equação de reta se escreve como $y=mx+b$

O ponto P já nos dá que $b=3$

Vamos encontrar a reta r usando a equação $y-y_0=m(x-x_0)$

$0-3=m(4-0)$

$m=-\frac{3}{4}$

portanto a equação é $r:y=-\frac{3}{4}x+3$

b) para dividir em triangulos com áreas iguais, esta reta s tem que passar pelo ponto médio da reta r.

A justificativa para isso é simples.

Adotemos a reta r como sendo a base do triangulo maior

Adotemos a origem O como sendo o ponto onde se calculará a altura relativa a base.

A reta s vai dividir o triangulo em dois outros triangulos, cada um com metade da base.

Como a altura é a mesma e como a área de um triangulo é $\frac{1}{2}base \times altura$, então a metada da base dará a metade da área (mantendo a altura fixa)

Terminada a justificativa, vamos encontrar a equaçao de s.

Primeiro precisamos encontrar o ponto médio.

Este será o ponto M(x,y)=(2,1.5)

Isto acontece porque o sistema de coordenadas é ortogonal. então basta tomar a metade de cada medidade x ede y.

Sabemos que s passa pela origem. portanto b=0 para a reta s.

pela equação $y-y_0=m(x-x_0)$ encontramos s

$1,5-0=m(2-0)$

$m=\frac{1,5}{2}=\frac{3}{4}$

Assim temos a equação $s:y=\frac{3}{4}x$