Question

Um polinômio pode ser escrito em forma de produto de fatores se, ao realizar esse produto, encontrarmos exatamente o mesmo polinômio que tínhamos anteriormente.

Com base nessas informações, podemos afirmar que o número de fatores do polinômio x⁹ - x que têm expoente natural e base inteira, é igual a:

A
1

B
2

C
3

D
4

E
5

Answer 1

Colocando x em evidência

x⁹ - x = x(x⁸-1)

Lembrando que a²-b² = (a-b)(a+b) temos

x⁸-1 = (x⁴-1)(x⁴+1)

x⁴-1 = (x²-1)(x²+1)

x²-1 = (x-1)(x+1)

Logo:

x⁹-x = x(x-1)(x+1)(x²+1)(x⁴+1)

Agora sabemos que x²+1 é irredutível nos reais pois possui apenas as raizes  ±i. Porém x⁴+1 pode ser fatorado:

x⁴ + 1 = x⁴ +2x² + 1 - 2x²

x⁴ + 1 = (x²+1)² - 2x²

x⁴ + 1 = (x² - x√2 + 1) (x² + x√2 + 1)

Portanto:

x⁹-x = x(x-1)(x+1)(x²+1)(x² - x√2 + 1)(x² + x√2 + 1)

A pergunta está meio confusa, não entendi o que ele esta querendo exatamente. Acho que é pra considerar a fatoração

x⁹-x = x(x-1)(x+1)(x²+1)(x⁴+1)

E conferir que ela tem 5 fatores, qualquer fatoração além disso terá coeficientes irracionais e/ou complexos. Assim seria 5 a resposta...