Question

13. Determine a geratriz correspondente às dízimas periódicas abaixo:
a) 0, 0404...
b) 0,04444...
c) 0,35828282...​

Answer 1

Para achar a geratriz, devemos utilizar operações matemáticas de tal forma que dizima "desapareça".

Mas como fazer isso?

Perceba que, multiplicando a dizima periódica por múltiplos de 10 (10, 100, 1000...), podemos "mover" a virgula (separador decimal) no numero.

ex.: 0,222... x 10 = 2,222...

Note, pelo exemplo, que o numero foi alterado movendo-se a virgula para direita, mas ainda temos uma dizima periódica.

Se chamarmos de "x" a dizima original (0,222...), o numero 2,222... será equivalente a 10x (10 vezes o "x"). Dessa forma, para "sumir" com a dizima, podemos montar uma equação:

$10x~-~x~=~ 2,222...~-~0,222\\\\\\9x~=~2\\\\\\x~=~\frac{2}{9}$

Vamos agora aplicar algo parecido para os itens da questão.

a)

Vamos chamar de "x" a dizima apresentada.

Dessa forma, temos:

$x~=~0,0404...\\\\\\Multiplicando~por~100\\\\\\100~.~x~=~100~.~0,0404...\\\\\\\boxed{100x~=~4,0404...}\\\\\\Subtraindo~x~de~100x\\\\\\100x~-~x~=~4,0404...~-~0,0404...\\\\\\99x~=~4\\\\\\\boxed{x~=~\frac{4}{99}}$

b)

Vamos, novamente, chamar de "x" a dizima apresentada.

Dessa forma, temos:

$x~=~0,0444...\\\\\\Multiplicando~por~100\\\\\\100~.~x~=~100~.~0,0444...\\\\\\\boxed{100x~=~4,444...}\\\\\\Multiplicando~a~dizima~(x)~por~10\\\\\\10~.~x~=~10~.~0,444...\\\\\\\boxed{10x~=~0,444...}\\\\\\Subtraindo~10x~de~100x\\\\\\100x~-~10x~=~4,444...~-~0,444...\\\\\\90x~=~4\\\\\\x~=~\frac{4}{90}\\\\\\Simplificando~por~2\\\\\\\boxed{x~=~\frac{2}{45}}$

c)

Vamos, novamente, chamar de "x" a dizima apresentada.

Dessa forma, temos:

$x~=~0,358282...\\\\\\Multiplicando~por~10000\\\\\\10000~.~x~=~100~.~0,358282...\\\\\\\boxed{10000x~=~3582,8282...}\\\\\\Multiplicando~a~dizima~(x)~por~100\\\\\\100~.~x~=~100~.~0,358282...\\\\\\\boxed{100x~=~35,8282...}\\\\\\Subtraindo~100x~de~10000x\\\\\\10000x~-~100x~=~3582,8282...~-~35,8282...\\\\\\9900x~=~3547\\\\\\\boxed{x~=~\frac{3547}{9900}}$