Question

Dado o conjunto W = {(x,y,z) / y = 0} podemos afirmar que:

A) é um espaço vetorial pois obedece as propriedades da adição e da multiplicação por um escalar.

B) Não é espaço vetorial pois não obedece a propriedade da adição.

C) Não é espaço vetorial pois não obedece a propriedade da multiplicação por um escalar.

D) Não é espaço vetorial pois, apesar de obedecer as propriedades da adição e da multiplicação por escalar, não possui o vetor (0, 0, 0)

E) Não é espaço vetorial pois y = 0

Justifique a resposta.

Answer 1

O conjunto W é um espaço vetorial. Letra a).

Os vetores desse conjunto sempre assumirão a seguinte forma:

$v = (x, 0, z)$

Para qualquer valor real de x e z.

Vamos analisar cada uma das propriedades básicas:

Adição:

Vamos considerar os dois vetores a seguir, pertencentes ao conjunto W:

$v_1 = (x_1, 0 , z_1)\\\\v_2 = (x_2, 0, z_2)$

A soma desses dois vetores será:

$v_1 + v_2 = (x_1 + x_2, 0 + 0, z_1 + z_2) = (x_1 + x_2, 0, z_1 + z_2)$

Como x1 + x2 e z1 + z2 também são números reais, então a soma também fará parte do conjunto W, logo a adição é válida.

Multiplicação por escalar:

Vamos considerar o vetor v do início e um escalar qualquer α, vamos ter que a multiplicação será:

$\alpha v = \alpha *(x, 0, z) = (\alpha x, 0, \alpha z)$

Sabemos que αx e αz também são números reais, logo a multiplicação também faz parte do conjunto W.

Elemento nulo:

x e z podem assumir qualquer valor real, incluindo 0. Desta forma, o vetor v = (0, 0, 0) é possível, ou seja, existe vetor nulo nesse conjunto W.

Logo, W é um espaço vetorial.

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Answer 2

Resposta:

A) é um espaço vetorial pois obedece as propriedades da adição e da multiplicação por um escalar

Explicação passo-a-passo: