Question

•Reconhecer a condição de alinhamento de três pontos no plano cartesiano.

•Calcular a área de um triângulo a partir das coordenadas cartesianas de seus vértices.

Dados os pontos A (1;3), B (3;7) e C (4;k):

a) determine o valor de k para que esses pontos estejam alinhados
b)determine o valor de k para que a area do triângulo ABC seja igual a zero
c)sendo k=3, desenhe o triângulo ABC e calcule sua área ​

Answer 1

3 pontos estão alinhados quando o determinante formado pelas coordenadas de seus vértices é nulo.

a)

$\begin{vmatrix}1&3&1\\3&7&1\\4&k&1\end{vmatrix}=0$

$\mathsf{1(7-k)-3(3-4)+1(3k-28)=0}\\\mathsf{7-k+3+3k-28=0}\\\mathsf{2k=28-3-7}$

$\mathsf{2k=18}\\\mathsf{k=\dfrac{18}{2}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{k=9}}}$

b)Para  serem vértices de um triângulo os pontos não podem estar alinhados e com isso o determinante formado pelas coordenadas dos pontos tem que ser diferente de zero. Como a área depende da expressão do determinante vimos no item anterior que quando k=9 o mesmo se anula logo o valor de k para que a área seja nula é 9.

c) os pontos serão A(1,3) B(3,7) e C(4,3)

$M=\begin{vmatrix}1&3&1\\3&7&1\\4&3&1\end{vmatrix}$

$\mathsf{det\,M=1(7-3)-3(3-4)+1(9-28)}\\\mathsf{det\,M=4+3-19}\\\mathsf{det\,M=-12}$

$\mathsf{A=\dfrac{1}{2}|det\,M|}\\\mathsf{A=\dfrac{1}{2}|-12|}\\\mathsf{A=\dfrac{1}{2}.12}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{A=6.u.a}}}$