Question

Determine uma equaçao da reta que satisfaça as condiçoes dadas.
(a) Determine a inclinaçao da reta 2x−5y = 9.
(b)Determine a equaçao da reta que passa por P(3,−4) e ´e paralela `a reta do item (a).
(c) Determine a equaçao da reta que passa por P(3,−4) e ´e perpendicular `a reta do item (a).

Answer 1

a) A equação geral de uma reta é $y=ax+b$, onde $a$ é a inclinação (ou coeficiente angular) e $b$ é o coeficiente linear. Basicamente, a inclinação da reta é o termo que multiplica o $x$ na equação.

Nossa equação é $2x-5y=9$. Vamos isolar o $y$ para determinar qual é o termo que multiplica o $x$:

$2x-5y=9 \\\\5y=2x-9 \\\\ y=\frac{2}{5}x-\frac{9}{5}$

Portanto, a inclinação da reta é $\frac{2}{5}$.

b) Vamos partir da equação geral: $y=ax+b$

A reta que queremos é paralela à reta do item (a). Isto significa que as duas retas têm a mesma inclinação (mesmo coeficiente angular). Portanto, sabemos que $a=\frac{2}{5}$, então nossa equação fica $y=\frac{2}{5}x+b$.

Agora precisamos descobrir o $b$. Nossa reta passa pelo ponto P(3,-4), então vamos substituir $x=3$ e $y=-4$ na equação e descobrir quanto vale $b$:

$y=\frac{2}{5}x+b \\\\ -4=\frac{2}{5}*3+b \\\\ b =-\frac{26}{5}$

Portanto, a equação da reta pedida é $y=\frac{2}{5}x-\frac{26}{5}$

c) Duas retas são perpendiculares quando o produto das suas inclinações resulta em -1. Vamos chamar de $m$ a inclinação da reta que queremos encontrar. Então, como a reta de inclinação m é perpendicular à reta do item (a), sabemos que $m*(\frac{2}{5})=-1 \rightarrow m=-\frac{5}{2}$.

Então, novamente utilizando a equação geral, a reta que queremos encontrar é do tipo $y=-\frac{5}{2}x+b$. Para encontrar o valor de $b$, basta substituirmos $x=3$ e $y=-4$, como fizemos no item (b). Então, temos:

$y=-\frac{5}{2}x+b \\\\ -4=-\frac{5}{2}*3+b \\\\ b = \frac{7}{2}$

Portanto, a equação da reta pedida é $y=-\frac{5}{2}x+\frac{7}{2}$