Question

Na sequência representada a seguir, os quadrados internos sempre são escuros e os quadrados externos são claros.a) Quantos quadrados, no total, formam a figura localizada na posição 100 dessa sequência? b) Na figura localizada na posição 100 dessa sequência, quantos são os quadrados escuros? E os claros?

#UFPR
#VESTIBULAR

Answer 1

a) a figura localizada na posição 100 terá 5050 quadrados.

b) na posição 100, teremos 4753 quadrados escuros e 297 quadrados claros.

a) podemos obter o número total de quadrados pela formula da soma dos termos de uma PA

$S=\dfrac{n\times(n+1)}{2}$

E podemos utilizar esta formula porque vemos que a base do triangulo cresce como se fosse uma PA. Se você olhar a "linha de baixo" em cada figura, verá que o número de quadradinhos da base do triangulo é igual a posição ocupada pela figura.

Portanto a posição 100 terá $S=\dfrac{100\times(101)}{2}={\bf5050}$ quadradinhos.

b) os quadradinhos escuros também obedecem a uma formula de soma do termos de uma PA. Mas estes quadradinhos começam a aparecer na posição 4.

portanto a equação que descreve estes quadradinhos escuros será

$S=\dfrac{(n-3)\times(n-2)}{2}$

obtive esta equação partindo da seguinte ideia:

Na figura 4, existe 1 quadradinho escuro. portanto a minha PA tem que dar 1 quadradinho escuro para n=4

Ou seja, para n=4 eu preciso ter a equação $S=\dfrac{1\times(1+1)}{2}$

Uma vez descoberto que os quadradinhos escuros obedecem a regra $S=\dfrac{(n-3)\times(n-2)}{2}$, descobrimos que na posição 100, teremos 4753 quadradinhos escuros por que $S=\dfrac{(100-3)\times(100-2)}{2}=\frac{97\times98}{2}=4753$

Os quadradinhos claros são obtidos pela diferença:

5050-4753=297 quadradinhos claros.