Question

O número de soluções da equação sen 2x = cos x. no intervalo 0,2π, é: A)3, B)4, C)5, D)6​

Answer 1

Resposta:

B

Explicação passo-a-passo:

Vamos lá, sabemos que

sen(2x)=2*sen(x)*cos(x),logo queremos resolver:

2*sen(x)*cos(x)=cos(x)

Antes de cortar, temos que levar em conta os casos em que cos(x)=0 no intervalo. que são π/2 e (3π)/2 . Já temos 2 soluções.

Agora assumindo que cos(x) é diferente de 0:

2*sen(x)=1

sen(x)=1/2

Sabemos que as soluções são π/3 e (2π)/3

Logo são 4 soluções

Answer 2

Seno do arco duplo

$\boxed{\boxed{\mathsf{\sin(2x)=2.\sin(x).\cos(x)}}}$

vale lembrar que antes de simplificar cos(x) dos dois lados levamos em conta que os valores de cos(x) se anula isto é $\frac{\pi}{2}$ e $\frac{3\pi}{2}$

$\mathsf{\sin(2x)=\cos(x)}\\\mathsf{2\sin(x).\cancel{\cos(x)}=\cancel{\cos(x)}}$

$\mathsf{2\sin(x)=1}\\\mathsf{\sin(x)=\dfrac{1}{2}}$

O seno é positivo no primeiro e segundo quadrante e o arco cujo seno é $\frac{1}{2}$ é $\frac{\pi}{6}rad$ assim

$\mathsf{\sin(x)=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\,x=\dfrac{\pi}{6}\,ou\,x=\dfrac{5\pi}{6}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{s=\{(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2})\}}}}$

portanto temos 4 soluções alternativa b.