Question

Calcular a área do triângulo de vértices A (2,3,-4), B(4,1,-5) e C(6,-2,4).

Answer 1

Temos que lembrar que quando realizamos o produto vetorial entre dois vetores, u e v por exemplo e calculamos seu módulo, esse valor é igual a área do paralelogramo gerado por u e v.

Então, se dividirmos um paralelogramo em duas partes, teremos 2 triângulos. Assim, podemos dizer que a área do triângulo será metade do módulo do produto vetorial.

Temos um triângulo de vértices A, B e C. Sua área será dada como sendo a metade do módulo do produto vetorial entre os vetores AB e AC. 

AB = B - A = (4, 1, -5) - (2, 3, -4) = (2, -2, -1)
AC = C - A = (6, -2, 4) - (2, 3, -4) = (4, -5, 8)

AB ^ AC = $\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&-2&-1\\4&-5&8\end{array}\right] = (i) . \left[\begin{array}{cc}-2&-1\\-5&8\\\end{array}\right] - (j).\left[\begin{array}{cc}2&-1\\4&8\\\end{array}\right] + (k).\left[\begin{array}{cc}2&-2\\4&-5\\\end{array}\right]$

AB ^ AC = $(i).(-2 . 8 - (-1 . -5)) - (j) . (2.8 - (-1.4)) + (k).(-5.2 - (4.-2))$
AB ^ AC = $(i).(-16 -5) - (j) . (16 +4) + (k).(-10 +8) = -21i-20j-2k$
AB ^ AC = $(-21, -20, -2)$

|AB ^ AC| = $\sqrt{ (-21)^{2} + (-20)^{2} + (-2)^{2} } = \sqrt{441 + 400 + 4 } = \sqrt{845} = 13 \sqrt{5}$

A = $\frac{1}{2}$ |AB ^ AC| = $\frac{13 \sqrt{5} }{2}$