Question

Seja F(x) = ax +b . para que valores de a e b tem -se que f( f(x)) = 9x -3 ?

Answer 1

fof(x) = f(f(x)) = a(ax + b) + b = \\ = {a}^{2} x + ab + b

Devemos ter:

fof(x) = x - 3

ou seja,

{a}^{2} x + ab+ b = x - 3

Daí,

{a}^{2} = 1 \\ a = 1 \: ou \: a = - 1

Para a = 1, temos:

1b + b = - 3 \\ 2b = - 3 \\ b = - \frac{3}{2}

Para a = - 1:

- 1b + b = - 3 \\ 0 = - 3

Isso é impossível.

Logo, a = 1 e b = - 3/2.

(fof)(x) é a mesma coisa que f(f(x)).

Portanto:

f(f(x)) = a(ax+b) + b

f(f(x)) = a²x + ab + b

a²x deve ser igual a x.

Então temos que a:

a = {1 ; -1}

E para b:

a.b + b = -3

Substituindo as duas soluções de a:

1.b + b = -3

b = -3/2

-1.b + b = -3

b = 0

0 = -3

Falso.

Soluções:

a = {1}

b = {-3/2}