Question

VETOREEEES A medida angular entre os vetores a e b é π/3rad, e seus módulos 1 e 2, respectivamente. Sendo u = a +b e v = a −b, calcule o módulo de ║u × v║.

Answer 1

Resposta:

| u × v | = 2√3

Explicação passo-a-passo:

Você pode resolver de varias formas esse. O jeito mais fácil (que eu pensei) é usando as propriedades do produto vetorial. Eu vou detalhar porque elas são geralmente ignoradas. O produto vetorial, assim como o escalar, não é chamado de produto atoa. Ele tem as propriedades distributivas:

(u + v) × w = (u × w) + (v × w)    ( I )

u × (v + w) = (u × v) +  (u × w)   ( II )

Não é comutativo (isso quer dizer que a ordem importa), mas vale que

u × v = - (v × u)                          ( III )

Essa propriedade implica que u × u = - (u × u), ou seja, u × u =  vetor nulo.

Você pode tirar os escalares (escalares = números reais) "pra fora":

λ(u × v) = (λu)× v = u × (λv)       ( IV )

Ai voltando ao problema, temos

u  = a + b

v = a - b

Logo

u × v = (a+b)×(a-b)

Usando as propriedades ( I ) e ( II )

u × v =  (a×a)  + (b×a) + (a×(-b)) + (b×(-b))

Usando a propriedade ( IV ) podemos tirar o sinal menos "pra fora"

u × v = (a×a) + (b×a) - (a×b) - (b×b)

Usando ( III ) temos  a×a = b×b = 0

u × v = (b×a) - (a×b)

Usando ( III ) novamente

u × v = 2(b×a)

Logo | u×v | = 2 | b×a |

Mas podemos calcular | b×a | pela fórmula

| b×a | = |b| |a| sen θ

onde θ é o ângulo entre a e b. Logo

| b × a | = 1*2*sen(π/3) = √3

Portanto

| u × v | = 2√3

Obs.: O produto escalar também tem as propriedades ( I ), ( II ) e ( IV ), que ajudam muito nesse tipo de problema. O conjunto dessas 3 propriedads é chamado de bilinearidade. Elas dizem intuitivamente que a operação produto escalar e produto vetorial se comportam "como um produto"