Question

Ana conhece suas melhores amigas da escola, Clara e Daniela, há 8 e 10 anos, respectivamente. Ana não estudou na mesma sala que Clara durante 2 anos e não estudou na mesma sala que Daniela durante 6 anos.

Sabendo que as três amigas estudariam na mesma turma nesse ano, Ana levou 50 doces para dividir com elas. Dos 50 doces, ela ficou com 16 e resolveu dividir, de forma proporcional, os demais doces entre suas amigas, Clara e Daniela. A divisão realizada foi diretamente proporcional ao tempo em que Ana conhece cada uma e inversamente proporcional ao número de anos em que Ana não estudou na mesma turma que cada amiga.

Quantos doces cada amiga recebeu ?

a) Clara 22 e Daniela 12
b) Clara 23 e Daniela 11
c) Clara 24 e Daniela 10
d) Clara 25 e Daniela 9
e) Clara 26 e Daniela 8​

Answer 1

O numero de doces recebidos por cada amiga é diretamente proporcional ao tempo de amizade e inversamente proporcional ao tempo estudado em turmas diferentes e, sendo assim, podemos traduzir matematicamente esta afirmação como:

 

                       $^{Numero~de~Doces}_{~~~~Recebidos}~~\propto~~\dfrac{Tempo~de~Amizade}{^{Tempo~Estudado~em}_{Turmas~Diferentes}}$

Obs.: O simbolo ∝ indica proporcionalidade.

Para podermos montar uma equação e, assim, poder resolver mais facilmente o problema, vamos introduzir um coeficiente "k" de proporcionalidade. Dessa forma, a proporção mostrada acima ficará:

                  $\boxed{^{Numero~de~Doces}_{~~~~Recebidos}~~=~~k~\cdot~\dfrac{Tempo~de~Amizade}{^{Tempo~Estudado~em}_{Turmas~Diferentes}}}$

Pelo texto, podemos tirar as informações sobre o tempo de amizade e tempo estudado em turmas diferentes para cada amiga.

--> Ana conhece Clara há 8 anos e não estudou com ela 2 destes anos.

--> Ana conhece Daniela há 10 anos e não estudou com ela 6 destes anos.

Seja "C" o numero de doces recebidos por Clara e "D", os recebidos por Daniela, podemos representar matematicamente por:

$C~=~k~\cdot~\dfrac{8}{2}\\\\\\\boxed{C~=~4k}\\\\\\\\D~=~k~\cdot~\dfrac{10}{6}\\\\\\\boxed{D~=~\dfrac{5}{3}\,k}$

Ana ficou com 16 doces, logo a quantidade de doces dividida com as amigas é igual a 50-16 = 34 doces.

Com isso, podemos dizer que a quantidade recebida por Clara (C) somada a quantidade recebida por Daniela (D) deve ser a 34 doces:

$C~+~D~=~34\\\\\\4k~+~\dfrac{5}{3}\,k~=~34\\\\\\\dfrac{3\cdot4k~+~1\cdot5k}{3}~=~34\\\\\\12k~+~5k~=~34\cdot3\\\\\\17k~=~102\\\\\\k~=~\dfrac{102}{17}\\\\\\\boxed{k~=~6}$

Com o coeficiente "k" calculado, podemos determinar a quantidade recebida por cada amiga:

$C~=~4k\\\\\\C~=~4\cdot6\\\\\\\boxed{C~=~24~Doces}\\\\\\\\D~=~\dfrac{5}{3}~\cdot~6\\\\\\\boxed{D~=~10~Doces}$

Resposta: Letra C