Question

As EDOS de primeira ordem envolvem uma grande gama de modelos de funções e, basicamente, existem 3 métodos de resolução dessas EDOs.
Resolva a EDO abaixo através do método da equação EXATA.

O resultado será:

Answer 1

Utilizando o metodo de EDOs exatas, temos que esta EDO tem equação solução exata dada por: $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+x+y=K$, Alternativa 3.

Explicação passo-a-passo:

O metodo das EDOs exatas nos diz que, se y(x) for uma equação exata, então sua EDO é equivalente a :

$M(x,y)+N(x,y)\frac{dy}{dx}=0$

Tal que obedeça a seguinte condição:

$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$

Assim fazendo estas derivadas:

$M(x,y)=1+x$

$\frac{\partial M}{\partial y}=0$

$N(x,y)=1+y$

$\frac{\partial N}{\partial x}=0$

Assim vemos que está é uma EDO exata então podemos escrever a solução geral dela como:

$F(x,y)=0$

Tal que:

$\frac{\partial F}{\partial x}=M$

$\frac{\partial F}{\partial y}=N$

Assim integrando estas equações indefinidamente:

$\frac{\partial F}{\partial x}=M$

$\frac{\partial F}{\partial x}=1+x$

$F=\frac{x^2}{2}+x+C(y)$

Onde esta constante de integração depende de y, pois integramos em x, para descobri-la, basta derivarmos em y e igualarmos a N:

$F=\frac{x^2}{2}+x+C(y)$

$\frac{\partial F}{\partial y}=C'(y)=N$

$C'(y)=1+y$

Integrando indefinidamente C:

$C'(y)=1+y$

$C(y)=\frac{y^2}{2}+y+K$

Onde K é outra constante de íntegra, porém desta vez de fato constante. Assim substituindo este resultado para F:

$F=\frac{x^2}{2}+x+C(y)$

$F=\frac{x^2}{2}+x+\frac{y^2}{2}+y+K$

E sabendo que:

$F(x,y)=0$

$\frac{x^2}{2}+x+\frac{y^2}{2}+y+K=0$

Ou ajeitando:

$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+x+y=K$

Alternativa correta: 3.