Question

VETORES Determine uma equação Geral do plano Alfa em cada caso
a) alfa contém A(1,1,0) e B(1,-1,-1) e é paralelo a CD com C(1,2,1) e D(0,1,0).
b) Alfa contém A(1,0,-1) e r: x-1/2 = y/3 = 2 - z

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Answer 1

a)

A equação do plano é da forma ax + by + cz + d = 0. E o vetor (a, b, c) é normal ao plano. Assim nosso primeiro objetivo é encontrar um vetor normal ao plano.

Como α contém A e B, é paralelo a AB. E sabemos que também é paralelo a CD. Assim, podemos encontrar um vetor v perpendicular ao plano fazendo o produto vetorial de AB por CD. Temos:

AB = B - A = (0,-2,-1)

CD = D - C = (-1, -1,-1)

Então temos

$v= (0,-2,-1) \times (-1,-1,-1) = \left| \begin{array}{ccc} \bf i & \bf j & \bf k \\0 & -2 & -1 \\-1 &- 1 & -1 \end{array} \right| = {\bf i} + {\bf j } - 2{\bf k } = (1,1,-2)$

Logo, o vetor v = (1,1,-2) é normal ao plano. Assim sua equação é

x + y - 2z + d = 0

Como α contém A = (1,1,0) temos  d = -2. Ou seja, o plano é

x+ y - 2z - 2 = 0

b)

Nesse fiquei em dúvida se a reta r é

$\dfrac{x-1}{2} = \dfrac y3 = 2-z \quad \textrm{ou} \quad x - \dfrac 12 = \dfrac y3 = 2-z$

Usando a primeira reta:

Vetorialmente podemos escrever a reta como

(x,y,z) = (1,0,2) + t ( 2,3,-1)

Em particular o ponto (1,0,2) está na reta. Então temos as informações:

I  ) (1,0,-1) e (1,0,2) estão no plano

II ) o plano é paralelo a (2,3,-1) que é a direção da reta

Usando  I ) concluímos que (1,0,2) - (1,0,-1) = (0,0,3) é paralelo ao plano também. Logo, (0,0,1) é paralelo ao plano. Portanto, o produto vetorial de (0,0,1) com (2,3,-1) é normal ao plano:

$(0,0,1) \times (2,3,-1) = \left| \begin{array}{ccc} \,\, \bf i & \,\,\,\,\bf j & \bf k \\0 & 0 & 1 \\2 &3 & -1 \end{array} \right| = -3{\bf i} + 2{\bf j } = (-3,2,0)$

Logo, (-3,2,0) é normal ao plano. Portanto sua equação é

-3x + 2y + d = 0

Já que α contem (1,0,-1) temos d = 3.

-3x + 2y + 3 = 0

Usando a segunda reta:

Vetorialmente podemos escrever a reta como

(x,y,z) = (1/2,0,2) + t ( 1,3,-1)

Em particular o ponto (1/2,0,2) está na reta. Então temos as informações:

I  ) (1,0,-1) e (1/2,0,2) estão no plano

II ) o plano é paralelo a (2,3,-1) que é a direção da reta

Usando I ) concluímos que (1/2,0,2) - (1,0,-1) = (-1/2,0,3) é paralelo ao plano também. Logo, (-1,0,6) é paralelo ao plano. Portanto, o produto vetorial de (-1,0,6) com (2,3,-1) é normal ao plano:

$(-1,0,6) \times (2,3,-1) = \left| \begin{array}{ccc} \bf i & \,\,\,\,\bf j & \bf k \\-1 & 0 & 6 \\2 &3 & -1 \end{array} \right| = -18{\bf i} + 11{\bf j } - 3{\bf k} = (-18,11,-3)$

Logo, (-18,11,-3) é normal ao plano. Portanto sua equação é

-18x +11y - 3z + d = 0

Já que α contem (1,0,-1) temos d = 15.

-18x + 11y - 3z + 15 = 0