Question

VETORES Prove que para qualquer v: |V x i|² + |v x j|² + |v x k|² = 2|v|²​

Answer 1

Vamos escrever v nas coordenadas i,j,k  e fazer a conta mesmo. Lembre que

i × i = j × j = k × k = 0

i × j = k

j × k = i

k × i = j

v = (a,b,c) = ai + bj + ck  

Então temos

v × i = (ai + bj + ck) × i

v × i = a (i × i) + b j × i + c k × i

v × i = -b k + c j

Obs.: vc também pode calcular usando o determinante:$v \times {\bf i} = (a,b,c) \times (1,0,0) = \left| \begin{array}{ccc}\bf i & \bf j & \bf k \\ a& b & c \\ 1 & 0&0 \end{array} \right| = c{\bf j} - b{\bf k} = (0,c,-b)$

O importante é que

|v × i|² = b²+c²

Fazendo o mesmo para os outros obteremos:

|v × j|² = a²+c²

|v × k|² = a²+b²

Portanto:

|v × i|² + |v × j|² + |v × k|² =  2(a²+b²+c²) = 2|v|²