Respostas
Vou colocar as edições em itálico.
Se um número N é o produto de dois números Pe Q, i.e., N = PQ, então dizemos que N é multiplo de P ou que P é divisor de N (também vale que N é múltiplo de Q e que Q é divisor de N).
Lembramos que todo número pode ser fatorado em um produto de potências de primos distintos. Por exemplo,
126 = 2¹.3².7¹
120 = 2³.3¹.5¹
Pode-se provar que o mdc dos números acima é dado tomando o menor expoente dos primos que aparecem na fatoração de ambos os números. Ou seja:
mdc(120,126) = 2¹.3¹ = 6
Da mesma forma o mmc pode ser calculado tomando o maior expoente de cada um dos primos:
mmc(120,126) = 2³.3².5¹.7¹ = 2520
Uma propriedade importante que pode ser provada a partir das observações acima é que para quaisquer números M,N temos
mdc(M,N) * mmc(M,N) = MN
Outra proriedade que usei é a seguinte:
mdc(kM, kN) = k * mdc(M,N)
Voltando ao problema, primeiro vamos provar a seguinte observação:
I ) Se mdc(a,b) = 1 então mdc(ab, a-b) = 1
De fato, caso fosse mdc(ab, a-b) ≠ 1, existiria um número primo p que é divisor de ab e de a-b simultaneamente.
Isso quer dizer o seguinte: caso o mdc(ab,a-b) = D seja diferente de 1, podemos fatorar D e vão aparecer números primos na fatoração. Por exemplo, vamos dizer que p é um desses fatores. Como ab é múltiplo de D (já que D é um divisor de ab), então na fatoração de ab também aparece esse primo p. Idem pra a-b. Isso quer dizer que p é um divisor comum de ab e a-b.
Como p divide ab e p é primo, p deve aparecer na fatoração de a ou na fatoração de b (ou ambos). Suponha que aparece na fatoração de a (funciona da mesma forma se supor que aparece na fatoração de b). Isso quer dizer que p é divisor de a. Ou seja, a = kp para algum número k.
Mas sabemos também que p é divisor de a-b. Isso quer dizer que a-b = np para algum número n. Logo temos:
a-b = np
kp - b = np
b = (k-n)p
Ou seja, isso implica que p é um divisor de b também. Portanto, p é um divisor comum de a e de b. Logo, nao poderia ser mdc(a,b) =1
Obs.: Isso que mostramos é um caso particular do problema, pois se mdc(A,B) = 1 então mmc(A,B) = AB. Daí teríamos
mdc (mmc(A,B), A-B) = mdc (AB,A-B) = 1 = mdc (A,B)
II ) Agora vamos concluir o problema:
Seja d = mdc(A,B)
Então podemos escrever:
A = ad
B = bd
para números inteiros a,b e de forma que mdc(a,b) = 1
Alem disso teremos mmc(A,B) = abd (pois d é a "parte que repete" nas fatorações de A e B)
Logo:
mdc(mmc(A,B), A-B) =
mdc( abd, (a-b)d ) =
d* mdc (ab, a-b)
Como vimos antes, mdc(ab,a-b) = 1. Portanto:
mdc (mmc (A,B), A-B) = d = mdc (A,B)
Isso conclui o problema.
Outra forma (usando notação de divisibilidade)
Seja d divisor comum de A e B. Ou seja, d | A e d | B. Logo
Isso mostra que
mdc(A,B) ≤ mdc (mmc(A,B) , A-B) ( I )
Agora suponha que d é um divisor comum de mmc(A,B) e A-B. Temos:
d | mmc(A,B) ⇒ d | AB ( II )
d | A-B ⇒ d | A² - AB ( III )
Juntando ( II ) e ( III ) concluímos que d | A². Usando que
AB = mdc(A,B) * mmc (A,B) e que mdc (A, B / mdc(A,B) ) = 1 segue que:
Analogamente concluímos que d | B² e que d | B.
Portanto, d é divisor comum de A e B. Isso mostra que
mdc (mmc(A,B), A-B) ≤ mdc(A,B) (IV)
Juntando ( I ) com ( IV ) concluímos o problema