Question

Mostrar que o MDC(A,B) = MDC[(MMC(A,B), (A-B)].

Answer 1

Vou colocar as edições em itálico.

Se um número N é o produto de dois números Pe Q, i.e., N = PQ, então dizemos que N é multiplo de P ou que P é divisor de N (também vale que N é múltiplo de Q e que Q é divisor de N).

Lembramos que todo número pode ser fatorado em um produto de potências de primos distintos. Por exemplo,

126 = 2¹.3².7¹

120 = 2³.3¹.5¹

Pode-se provar que o mdc dos números acima é dado tomando o menor expoente dos primos que aparecem na fatoração de ambos os números. Ou seja:

mdc(120,126) = 2¹.3¹ = 6

Da mesma forma o mmc pode ser calculado tomando o maior expoente de cada um dos primos:

mmc(120,126) = 2³.3².5¹.7¹ = 2520

Uma propriedade importante que pode ser provada a partir das observações acima é que para quaisquer números M,N temos

mdc(M,N) * mmc(M,N) = MN

Outra proriedade que usei é a seguinte:

mdc(kM, kN) = k * mdc(M,N)

Voltando ao problema, primeiro vamos provar a seguinte observação:

I ) Se mdc(a,b) = 1 então mdc(ab, a-b) = 1

De fato, caso fosse mdc(ab, a-b) ≠ 1, existiria um número primo p que é divisor de ab e de a-b simultaneamente.

Isso quer dizer o seguinte: caso o mdc(ab,a-b)  = D seja diferente de 1, podemos fatorar D e vão aparecer números primos na fatoração. Por exemplo, vamos dizer que p é um desses fatores. Como ab é múltiplo de D (já que D é um divisor de ab), então na fatoração de ab também aparece esse primo p. Idem pra a-b. Isso quer dizer que p é um divisor comum de ab e a-b.

Como p divide ab e p é primo, p deve aparecer na fatoração de a ou na fatoração de b (ou ambos). Suponha que aparece na fatoração de a (funciona da mesma forma se supor que aparece na fatoração de b). Isso quer dizer que p é divisor de a. Ou seja, a = kp para algum número k.

Mas sabemos também que p é divisor de a-b. Isso quer dizer que a-b = np para algum número n. Logo temos:

a-b = np

kp - b = np

b = (k-n)p

Ou seja, isso implica que p é um divisor de b também. Portanto, p é um divisor comum de a e de b. Logo, nao poderia ser mdc(a,b) =1

Obs.: Isso que mostramos é um caso particular do problema, pois se mdc(A,B) = 1 então mmc(A,B)  = AB. Daí teríamos

mdc (mmc(A,B), A-B) = mdc (AB,A-B) = 1 = mdc (A,B)

II ) Agora vamos concluir o problema:

Seja d  = mdc(A,B)

Então podemos escrever:

A = ad

B = bd

para números inteiros a,b e de forma que mdc(a,b) = 1

Alem disso teremos mmc(A,B) = abd (pois d é a "parte que repete" nas fatorações de A e B)

Logo:

mdc(mmc(A,B), A-B) =

mdc( abd, (a-b)d )  =

d* mdc (ab, a-b)

Como vimos antes, mdc(ab,a-b) = 1. Portanto:

mdc (mmc (A,B), A-B) = d  = mdc (A,B)

Isso conclui o problema.

Outra forma (usando notação de divisibilidade)

Seja d divisor comum de A e B. Ou seja, d | A e d | B. Logo

$\begin{cases} d \mid A \\ d \mid B \end{cases} \implies\begin{cases} d \mid A-B \\ d \mid {\textrm{mmc}(A,B) \end {cases}$

Isso mostra que

mdc(A,B) ≤ mdc (mmc(A,B) , A-B)   ( I )

Agora suponha que d é um divisor comum de mmc(A,B) e A-B. Temos:

d | mmc(A,B)  ⇒ d | AB  ( II )

d | A-B ⇒ d | A² - AB      ( III )

Juntando ( II )  e ( III ) concluímos que d | A². Usando que

AB = mdc(A,B) * mmc (A,B) e que mdc (A, B / mdc(A,B) ) = 1 segue que:

$\begin{cases} d \mid A^2 \\ d \mid \textrm{mmc}(A,B) \end{cases} \implies\begin{cases} d \mid A^2 \\ d \mid A \dfrac B{\textrm{mmc}(A,B)} \end {cases} \implies d \mid A$

Analogamente concluímos que d | B² e que d | B.

Portanto, d é divisor comum de A e B. Isso mostra que

mdc (mmc(A,B), A-B)  ≤ mdc(A,B) (IV)

Juntando ( I ) com ( IV ) concluímos o problema