Question

Resolva: TEORIA DOS NÚMEROS
$m^{n} =n^{m}$ para quais inteiros m e n positivos?

Answer 1

Olá,

primeiramente, vamos assumir, sem perda de generalidade, que m ≥ n. Denote por d = mdc(m, n). Então, seja  m = a.d e n = b.d, assim, segue que

(a, b) = 1 e a ≥ b. Substituindo, temos

(ad)^n = (bd) ^m. Since m ≥ n, it follows that  a^n = (b^m).d^(m−n ).

A chave está aqui. Segue que (b ^m)|(a^n) , e  qualquer número primo divide b pode dividir a, entretanto, (a, b) = 1, então não existem primos que dividem b. Logo, b = 1. Agora, temos a^n = n ^(an−n) .

Como n^(an−n) = n ^((a−1) ^n), ambos os lados são potências de n . Desse modo,

a = n ^(a−1) .

Segue pela desigualdade de Bernoulli que reduzimos aos seguintes caso:

• a = 1. Then 1 = n ^0

Isto corresponde a m=n.

• a = 2. então 2 = n ^1

o que implica (m, n) = (4, 2).

• n = 1. Então a = 1 ^(a−1)

O que implica (m, n) = (1, 1).

• n ≥ 2 and a ≥ 3.

A desigualdade de Bernoulli’s implica que x = n − 1 e r = a − 1. Isto significa que x ≥ 1 e r ≥ 2,  desde que a = 1, 2 e n = 1. Aplicando um versão estrita de Bernoulli temos

n ^(a−1) > 1 + (a − 1)(n − 1) = 2 − a − n + an

Isso mostra que a ≥ 3 e n ≥ 2, temos 2 − a − n + an ≥ a. O que é verdade desde que subtraindo ambos os lados obtemos (a − 1)(n − 2) ≥ 0 ( o que é verdadeiro para  a ≥ 3 e n ≥ 2)

Então n ^(a−1) > a , resultando na não existência de soluções nesse caso.

Portanto,  (m, n) = (2, 4),(4, 2),(k, k) para todo k natural, são soluções do problema.

Bons estudos

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Os pares (m, n) = (2, 4),(4, 2),(k, k) para todo k natural, resolvem o problema em questão.