Question

Ao desenhar o logotipo de uma empresa automotiva, um designer verificou que dois lados de um paralelogramo estão contidos nas retas y = 3x e 2x + y = 0. Um terceiro lado poderia estar contido na reta:

Answer 1

• Quais são os tipos de equações da reta?

Uma reta é uma figura geométrica não-orientada com direção fixa que não possui extremos, ou seja, é infinita. Existem diversas formas de se representar uma reta, seja ela no plano ou no espaço. Destaca-se:

1. Equação vetorial da reta.
2. Equação reduzida da reta.
3. Equação geral da reta.

A escolha da equação irá depender do problema. Apesar disso, lembre-se de que todas as maneiras têm capacidade de se referir a mesma reta, uma vez elas que só se distinguem pela escrita matemática e pelo contexto em que são aplicadas.

• Quais são as equações da reta deste problema?

A primeira equação encontrada é a equação reduzida da reta. No plano, ela é expressa pela fórmula:

$\large{\boxed{\mathsf{y = mx + n}}}$

Onde, neste caso, m = 3 e n = 0.

$\large{\mathsf{y = 3x}}$

Já a segunda equação observada é a equação geral da reta. Ainda no plano IR², sua representação é dada por:

$\large{\boxed{\mathsf{y - mx - n = 0}}}$

Onde nesta situação m = -2 e n = 0.

$\mathsf{y + 2x = 0}$

Vale lembrar que cada uma das retas possui um vetor diretor centrado na origem: ele é quem utilizamos quando falamos da direção de uma reta e da condição de paralelismo entre elas.

• Como resolver a questão?

Devemos encontrar uma equação que exprima o terceiro lado de um paralelogramo. Só para lembrar, paralelogramo é aquele quadrilátero que possui lados paralelos dois a dois. Isto é, neste polígono os lados opostos são paralelos.

Nesse sentido, a terceira reta deve conter um vetor diretor paralelo ao vetor diretor OU da primeira reta OU da segunda reta e deve conter algum ponto de uma das retas, desde que ele não seja o ponto de encontro das retas (0,0).

1. Terceira reta paralela à primeira reta:

Para encontrar o vetor diretor da primeira reta, precisaremos de dois pontos dela. Sejam os pontos A = (0,0) e B = (1,3), o vetor AB será:

$\overrightarrow{\mathsf{AB}}\mathsf{= B-A = (1,3) - (0,0) = }~\boxed{\mathsf{(1,3)}}$

Agora necessitamos de um ponto da segunda reta. Seja o ponto C = (-1,2), podemos montar a equação vetorial da terceira reta.

$\large{\boxed{\mathsf{(x,y) = (x_1,y_1) + (a,b).t}}}$

Onde:

1. (x,y) é um ponto desconhecido da reta.
2. (x₁,y₁) é um ponto conhecido da reta.
3. (a,b) é o vetor diretor da reta.
4. t é o parâmetro variável.

Neste caso, uma possível equação é:

$\large{\boxed{\mathsf{(x,y) = (-1,2) + (1,3).t}}}$

2. Terceira reta paralela à segunda reta:

Utilizando o mesmo raciocínio, o vetor diretor da segunda reta é, para os pontos A = (0,0) e B = (1,-2):

$\overrightarrow{\mathsf{AB}}\mathsf{= B-A = (1,-2) - (0,0) = }~\boxed{\mathsf{(1,-2)}}$

Já o ponto escolhido para a reta y = 3x, pode ser C = (1,3), então:

$\large{\boxed{\mathsf{(x,y) = (1,3) + (1,-2).t}}}$

As equações da reta podem ser adaptadas a depender de qual tipo se deseje. Após algumas manipulações, podemos chegar, a partir da equação vetorial, à equação reduzida da reta (primeiro caso) e à equação geral da reta (segundo caso).

• Qual é a resposta?

Existem infinitas equações de reta que resolvem a questão. As equações da reta para o terceiro lado do paralelogramo obtidas nessa resolução estão escritas respectivamente em equação reduzida e equação geral da reta como:

$\large\boxed{\mathsf{y = 3x + 5}}~~\mathsf{ou}~~\large{\boxed{\mathsf{2x + y - 5 = 0}}}$

• Leia mais sobre equações da reta em:

https://brainly.com.br/tarefa/25440713