Question

6- Seja o triângulo de vértices A (1,2), B(2,-6) e
C(-4,2). Então a equação da reta suporte da mediana do
triângulo ABC relativa ao lado BC.
a) 2x–4=0
2x+4=0
c) 4x – 2y=0
d) 4x +2y=0​

Answer 1

Resposta:

c) 4x - 2y = 0

Explicação passo-a-passo:

Oi! Para ajudar na compreensão do problema, deixei uma imagem anexada no final da explicação.

Agora, vamos começar.

A mediana é um segmento de reta com origem em um dos vértices do triângulo e extremidade no ponto médio do lado oposto ao vértice. Nesse caso, a mediana vai do ponto A até a ponto médio (M) do lado BC.

Para descobrirmos quais são as coordenadas do ponto M, devemos fazer uma média entre as coordenadas dos pontos B e C.

$x_M=\dfrac{x_B+x_C}{2}=\dfrac{2+(-4)}{2}=\dfrac{2-4}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1\\\\\\y_M=\dfrac{y_B+y_C}{2}=\dfrac{-6+2}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2$

Então, M (-1, -2).

A equação reduzida de uma reta qualquer é $y=ax+b$. Sabendo que a reta (r) suporte da mediana passa pelo ponto A e pelo ponto M, podemos utilizar as coordenadas desses pontos para achar o valor de a e b e, assim, achar a equação da reta.

$A~\rightarrow~2=a\cdot1+b~\rightarrow~\boxed{a+b=2}\\\\M~\rightarrow~-2=a\cdot(-1)+b~\rightarrow~\boxed{-a+b=-2}$

Agora, vamos montar um sistema com essas duas equações que achamos.

$\begin{cases}a+b=2\\-a+b=-2\end{cases}$

Somando as duas equações, obtemos:

$a-a+b+b=2-2\\\\2b=0\\\\\boxed{b=0}$

Substituindo b por 0 na primeira equação.

$a+b=2\\\\a+0=2\\\\\boxed{a=2}$

Logo, a equação reduzida da nossa reta é $y=2x$.

Vamos ver qual das alternativas se encaixa na reta que achamos.

a) F

$2x-4=0\\\\2x=4\\\\x=\dfrac{4}{2}\\\\x=2$

b) F

$2x+4=0\\\\2x=-4\\\\x=\dfrac{-4}{2}\\\\x=-2$

c) V

$4x-2y=0\\\\-2y=-4x\\\\y=\dfrac{-4x}{-2}\\\\\boxed{\boxed{y=2x}}$

d) F

$4x+2y=0\\\\2y=-4x\\\\y=\dfrac{-4x}{2}\\\\y=-2x$

Portanto, a alternativa correta é a letra C.

Espero ter ajudado. Qualquer dúvida pode deixar nos comentários. Bons estudos! ♥️