• Matéria: Matemática
  • Autor: doritbg
  • Perguntado 7 anos atrás

qual o trabalho realizado pela força F= (xy,yz,xz) de (0,0,0) a (1,1,1) sobre o caminho curvo C: r(t) (t,t²,t^4) com t no intervalo 0,1?
alternativas a) 15/16 b) 17/36 c)17/18 d)15/18 e)15/36

Respostas

respondido por: cassiohvm
0

Resposta:

17/18

Explicação passo-a-passo:

É śo calcular a integral de linha de F em C

No caso, a parametrização já foi dada:

r(t) = (t, t², t⁴)

Assim, o vetor tangente é

r'(t) = (1, 2t, 4t³)

Sabemos também que F(x,y,z) = (xy,yz,xz). Assim, para calcular F(r(t)) basta substituir x por t, y por t² e z por t⁴ pois r(t) = (t,t²,t⁴). Logo:

F(r(t)) = (t³,t⁶,t⁵)

Lembrando que

\displaystyle \int_C \vec F \, d\vec r = \int_a^b \vec F(r(t)) \cdot r'(t) \, dt

onde o ponto denota o produto escalar, o problema torna-se:

\displaystyle \int_ 0^1 ( t^3, t^6, t^5) \cdot (1, 2t, 4t^3) \, dt = \int_0^1 t^3 + 2t^7 + 4t^8 \, dt = \dfrac 14 + \dfrac 28 + \dfrac 4 9 = \dfrac{17}{18}

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