Question

calcule:
integral tripla de b= e (x²+y²+z²) ³/² dV, onde b= {(x,y,z) I x²+y²+z² menor/igual a 1
alternativas:
a) n/12 b) 2n/5 c) 81n/2 d) 4n/ 3.(e - 1) e) 162n.(e - 1)

Answer 1

Resposta:

d) 4π (e-1)/3

Explicação passo-a-passo:

Queremos calcular a integral

$\displaystyle \iiint_B e^{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} \, dV$

Onde B é a bola unitária.

Dominios que envolvem bolas centradas na origem são fáceis de descrever com coordenadas esféricas. Lembramos que a mudança para coordenadas esféricas é

x = ρ cosθ senφ

y = ρ senθ senφ

z = ρ cosφ

Intuitivamente o parâmetro ρ indica a profundidade, θ a longitude e φ a latitude (na verdade, a latitude varia de -90° a 90° e aqui φ varia de 0 a 180°, então é um pouco diferente).

Para descrevermos B em coordenadas esféricas fica:

0 ≤ ρ ≤ 1  

pois a bola tem raio 1 e é "cheia", ou seja temos todas profundidades

0 ≤ θ ≤ 2π

0 ≤ φ ≤ π

Pois como não faltam setores na bola, temos todas as latitudes e todas as longitudes

Nesse caso podemos integrar em qualquer ordem. Note que fazendo a substituição, x² + y ² + z² é igual a ρ² . Além disso, o jacobiano das coordenadas esféricas é ρ² senφ. Assim a integral fica:

$\displaystyle \int_0^{2 \pi} \int_0^\pi \int_0^1 e^{\rho^3} \rho^2 \sin \varphi \, d\rho \,d\varphi \, d\theta$

Para resolver, note que as integrais podem ser separadas nesse caso:

$\displaystyle \int_0^{2 \pi} d\theta \int_0^\pi \sin \varphi \, d\varphi \int_0^1 e^{\rho^3} \rho^2 \, d\rho$

Resolvendo as integrais separadamente temos

$\boxed{\displaystyle \int _0^{ 2 \pi} d\theta = 2 \pi}$

$\boxed{\displaystyle \int_0 ^\pi \sin \varphi \, d \varphi = 2}$

$\boxed{\displaystyle \int_0^1 e^{\rho^3} \rho^2\, d \varphi = \dfrac{e^{\rho^3}}{3} \Bigg|_{\rho = 0}^{\rho = 1} = \dfrac{e- 1}{3}}$

Assim a resposta final é 4π (e-1)/3