Question

Adivinhe o código;492- um dígito correto no lugar errado; 561- um dígito correto no lugar correto;209- todos errados; 451- dois corretos , ambos no lugar errado;843- um está correto no lugar errado

Answer 1

O código correto é 548.

Vamos analisar cada passo informado:

492:

Temos apenas 1 dígito certo, mas ele está no lugar errado. Logo teremos os possíveis dígitos:

• 4;
• 9;
• 2.

561:

Aqui temos um dígito certo no lugar certo, logo ampliamos nossos possíveis números para:

• 4;
• 9;
• 2;
• 5;
• 6;
• 1.

209:

Todos errados, logo podemos eliminar 2, 0 e 9 da nossa lista de candidatos:

• 4;
• 5;
• 6;
• 1.

4 é o único dígito que restou da primeira informação, logo o nosso número terá o dígito 4, contudo ele não estará na posição 1, certo?

451:

Dois deles estão corretos, mas no lugar errado. Novamente temos o dígito 4 na primeira posição, logo ele é um dos certos na posição errada novamente. Assim apenas um dos dígitos 5 e 1 que apareceram na segunda afirmação estão corretos mas na posição errada. Se for 5, então ele deve estar na posição 1, pois foi o que afirmou a segunda afirmação. Vamos considerar essa hipótese como verdadeira e chegar se tudo condiz.

843:

Apenas um está correto. Dentre os três números, apenas 4 já foi mencionado, vamos ignorar ele, de modo que escolheremos o dígito 8 como sendo o correto no lugar errado, pois se 3 for o nosso número 4 também seria, o que entraria em choque. A posição 1 está ocupada, logo ele fica na posição 2.

O nosso código será:

548

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Answer 2

Trata-se de uma questão de lógica booleana.

Como a lógica booleana resolve problemas?

Uma das aplicações da lógica booleana é a possibilidade de modelar problemas com a finalidade de torná-los mais simples de serem resolvidos. Por meio da utilização das técnicas da lógica, podemos resolver diversos problemas que envolvem as condições true ou false.

Neste caso, por exemplo, observe que o número 492 contém a pista de que um dígito correto está no lugar errado. Veja: um dígito ou está correto (true) ou está incorreto (false); ou ainda, ele está no lugar certo (true) ou no lugar errado (false). Portanto, podemos adaptar o problema à lógica booleana adotando interpretações convenientes.

Como resolver a questão?

O primeiro passo é adotar as interpretações para as afirmações problema. Seja:

1. I[DC-n] = true <=> "O dígito n está correto."
2. I[DC-n] = false <=> "O dígito n está incorreto."
3. I[LC-n,x] = true <=> "O dígito n está na posição x."
4. I[LC-n,x] = false <=> "O dígito n não está na posição x."

Além disso, considere que se um dígito está correto, então ele deve estar em alguma posição (1, 2 ou 3).

O próximo passo é elaborar, para cada número, uma fórmula proposicional. Observe a transcrição das premissas em fórmulas atentando-se às interpretações adotadas.

Para o número 492:

A: (DC-4 ∧ ¬DC-9 ∧ ¬DC-2 ∧ ¬LC-4,1) v

   (¬DC-4 ∧ DC-9 ∧ ¬DC-2 ∧ ¬LC-9,2) v

   (¬DC-4 ∧ ¬DC-9 ∧ DC-2 ∧ ¬LC-2,3)

Para o número 561:

B: (DC-5 ∧ ¬DC-6 ∧ ¬DC-1 ∧ LC-5,1) v

   (¬DC-5 ∧ DC-6 ∧ ¬DC-1 ∧ LC-6,2) v

   (¬DC5 ∧ ¬DC-6 ∧ DC-1 ∧ LC-1,3)

Para o número 209:

C: (¬DC-2 ∧ ¬DC-0 ∧ ¬DC-9)

Para o número 451:

D: ((DC-4 ∧ DC-5 ∧ ¬DC-1 ∧ ¬ LC-4,1 ∧ ¬LC-5,2) v

    ((DC-4 ∧ DC-1 ∧ ¬DC-5 ∧ ¬ LC-4,1 ∧ ¬LC-1,3) v

    ((DC-5 ∧ DC-1 ∧ ¬DC-4 ∧ ¬ LC-5,2 ∧ ¬LC-1,3)  

Para o número 843:

E:  (DC-8 ∧ ¬DC-4 ∧ ¬DC-3 ∧ ¬LC-8,1) v

   (¬DC-8 ∧ DC-4 ∧ ¬DC-3 ∧ ¬LC-4,2) v

   (¬DC-8 ∧ ¬DC-4 ∧ DC-3 ∧ ¬LC-3,3)

Como queremos que todas as fórmulas sejam verdadeiras ao mesmo tempo, podemos fazer a conjunção delas para obter a fórmula H que corresponde à resposta.

H: A ∧ B ∧ C ∧ D ∧ E

Fazer a conjunção (∧) de todas as subfórmulas (A até E) não é nada fácil com muitos ∧ e v misturados. Dessa forma, para facilitar a escrita, vamos enxugar algumas fórmulas analisando as conjunções por partes.

Começando da fórmula C, sabemos que os dígitos 2, 0 e 9 são incorretos.

C: (¬DC-2 ∧ ¬DC-0 ∧ ¬DC-9)

Então, a única fórmula que muda é a A que ficará:

A: (DC-4 ∧ ¬DC-9 ∧ ¬DC-2 ∧ ¬LC-4,1)

Isso nos diz que 4 é um dígito certo e está no lugar errado. Prosseguimos eliminando na fórmula D aquelas partes que consideram 4 um dígito incorreto.

D: (DC-4 ∧ DC-5 ∧ ¬DC-1 ∧ ¬ LC-4,1 ∧ ¬LC-5,2) v

    (DC-4 ∧ DC-1 ∧ ¬DC-5 ∧ ¬ LC-4,1 ∧ ¬LC-1,3)

Consequentemente, 4 e 5 são corretos ou 4 e 1 são corretos mas nas posições erradas. Na fórmula E, como 4 já é um dígito certo, então 8 e 3 são incorretos. Logo, 4 está na posição errada e E ficará:

E: (¬DC-8 ∧ DC-4 ∧ ¬DC-3 ∧ ¬LC-4,2)

Assim, 4 só pode estar na última posição. Avaliando a fórmula B, vemos que 1 nunca poderá ser o dígito correto pois, caso seja, ele estará na posição correta, o que é inadmissível olhando a fórmula D. Logo, refazemos a B:

B: (DC-5 ∧ ¬DC-6 ∧ ¬DC-1 ∧ LC-5,1) v

   (¬DC-5 ∧ DC-6 ∧ ¬DC-1 ∧ LC-6,1)

Logo, ou 5 ou 6 estão corretos no lugar correto. Por consequência, a D se reformulará excluindo o caso 4 e 1 corretos.

D:  (DC-4 ∧ DC-5 ∧ ¬DC-1 ∧ ¬ LC-4,1 ∧ ¬LC-5,2)

Ou seja, 4 e 5 são corretos e estão no lugar errado. Então a B ficará com o dígito 5 como o único correto no lugar correto.      

B: (DC-5 ∧ ¬DC-6 ∧ ¬DC-1 ∧ LC-5,1)

Concluímos que H, depois de resumidas as fórmulas A, B, D e E, é:

H: A ∧ B ∧ C ∧ D ∧ E

<=>   (DC-4 ∧ ¬DC-9 ∧ ¬DC-2 ∧ ¬LC-4,1) ∧

         (DC-5 ∧ ¬DC-6 ∧ ¬DC-1 ∧ LC-5,1) ∧

         (¬DC-2 ∧ ¬DC-0 ∧ ¬DC-9) ∧

         (DC-4 ∧ DC-5 ∧ ¬DC-1 ∧ ¬ LC-4,1 ∧ ¬LC-5,2) ∧

         (¬DC-8 ∧ DC-4 ∧ ¬DC-3 ∧ ¬LC-4,2)

Qual é a resposta?

A conjunção de proposições de H nos diz que os dígitos corretos são apenas 4 e 5 (DC-4 e DC-5). Ademais, ela afirma que o 5 está na posição 1 (LC-5,1) e que 4 não está na posição 1 nem na posição 2 (¬LC4,1 e ¬LC4,2), logo está na posição 3 por ser um dígito correto (como consideramos admissível concluir no início desta resolução).

De resto, sabemos que nenhum outro dígito de 0 a 9 (exceto o 7, que nunca foi mencionado) está correto. Nada sabemos além disso.

Portanto, se consideramos que o problema trata de um código com 3 dígitos, então o único código possível é o 574 pois satisfaz todas as conjunções da fórmula H, mesmo sem o dígito 7 ser citado.

                                             $\Large{\boxed{\boxed{\mathsf{574}}}}$

Leia mais sobre lógica proposicional:

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