Question

LIMITES, mostre que ​

Answer 1

Resposta:

x + a/2

Explicação passo-a-passo:

Queremos calcular o limite

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \, \dfrac 1n \left[ \left( x + \dfrac an \right) + \left( x + \dfrac{2a}n \right) + \cdots + \left( x + \dfrac{(n-1)a}{n}\right)\right]$

Observe que dentro dos colchetes temos uma soma com n-1 parcelas. Em cada uma dessas parcelas aparece x. Assim no total temos (n-1)x. O restante é uma PA. Podemos usar a fórmula da soma (eu fatorei o a/n, mas podemos usar a fórmula diretamente)

$\dfrac an + \dfrac{2a}n + \cdots { \dfrac{(n-1)a}{n} = \dfrac{a}n \left( 1 + 2 + \cdots + (n-1) \right)$

Como 1 + 2 + ... + (n-1) = n(n-1)/2 segue que

$\dfrac an + \dfrac{2a}n + \cdots \dfrac{(n-1)a}{n} = \dfrac an \cdot \dfrac{n(n-1)}{2} = \dfrac{(n-1)a}{2}$

Observado isso, retomamos o limite:

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\, \dfrac{1}n \left [ (n-1)x + \dfrac{(n-1)a}{2} \right] = \lim_{x \to \infty} \, \dfrac{n-1}{n}\left [ x + \dfrac a2 \right] = x + \dfrac a2$

(para a última igualdade observe que o limite é em n, x e a são constantes. E limite de (n-1)/n é 1 )