Oito amigos resolveram ir ao cinema e compraram os ingressos de forma que todos pudessem se sentar numa mesma fila contendo apenas oito poltronas. Sabendo que Carlos e Mariana estão brigados e por esse motivo não querem se sentar juntos, de quantas maneiras distintas os oito amigos podem ocupar as oito poltronas?
A
40 320
B
34 240
C
30 240
D
30 140
E
30 040
Respostas
Como Mariana e Carlos não podem sentar juntos é a única restrição do problema, podemos calcular todas as maneiras dos amigos se sentarem e delas subtrair a quantidade de configurações em que eles sentam juntos.
Vamos representar as poltronas como tracinhos.
_ _ _ _ _ _ _ _ → Cada tracinho representa uma poltrona, temos 8 possibilidades de pessoas para preencher o primeiro, 7 para o segundo e assim em diante.
8.7.6.5.4.3.2.1 = 8! = 40320 maneiras de sentar 8 pessoas nas 8 poltronas.
| _ _ | → Sentaremos Mariana e Carlos em uma poltrona dupla, sabemos que há 2 formas de fazer isso, ou senta Mariana | Carlos ou Carlos | Mariana e consideraremos o casal como uma pessoa só.
_ _ _ _ _ _ _ → Temos agora 7 poltronas a serem preenchidas, levando em consideração que uma delas é dupla. Há 7 pessoas (considerando Mariana e Carlos como uma) para preencher a primeira dessas 7 poltronas, depois 6 e assim em diante.
7.6.5.4.3.2.1 = 5040 maneiras de sentarmos 7 pessoas em 7 poltronas.
Porém, como Mariana e Carlos estão juntos e há duas maneiras de posicioná-los, temos que multiplicar o resultado por 2.
5040.2 = 10080
E por fim:
40320 - 10080 = 30240
Há 30240 maneiras de sentar as 8 pessoas sem que Mariana e Carlos fiquem juntos.
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Resposta:
Todos possíveis
8!=40320
Mariana e Carlos juntos
fazer Mariana e Carlos como uma pessoa só com permutação 2! (esquerdo e direito)
2* 7! =10080
Nunca juntos 40320 - 10080 =30.240