Question

Uma empresa produziu x peças de um determinado produto. Verificou-se que a receita R(x)=5000x-x² e o custo dado por C=2x² - 200x. Sabendo-se que o lucro é dado por L=R-C, o número de peças produzidas, para que o lucro seja máximo, será de:

A)2100
B)3200
C)1734
D)1540

Answer 1

Resposta: 867 peças

Explicação passo-a-passo:

Passo 1: O lucro (L) é dado pela diferença entre a receita (venda) e o custo (custo de produção), ou seja, L(x) = R(x) - C(x).

Assim:

$L(x) = 5000x - x^2 - (2x^2 - 200x)\\\\\Rightarrow L(x) = 5000x - x^2 - 2x^2 + 200x\\\\\Rightarrow L(x) = -3x^2 + 5200x$

Passo 2: observe que a função L(x) é uma função quadrática (ou do 2º grau) com a = -3 (concavidade para baixo) e b = +5200. Pelo fato de a concavidade do gráfico da função ser  para baixo significa que a função tem um valor máximo para "y" que corresponde a um valor máximo para "x".

Passo 3: como queremos encontrar o número máximo de peças produzidas (x), então devemos calcular o "x" máximo que é dado por

$x_{max}=\dfrac{-b}{2a} \Rightarrow x_{max}=\dfrac{-5200}{2 \cdot (-3)} \Rightarrow x_{max}= 866,67$

Portanto, para que o lucro L(x) seja máximo é preciso produzir 867 peças.

Observação: se você quisesse calcular o lucro máximo, bastava calcular o "y" ou L(x) máximo que é dado por:

$y_{max}=\dfrac{-\Delta}{4a}$