Question

O apresentador de um programa de auditório propôs aos participantes de uma competição a seguinte tarefa: cada participante teria 10 minutos para recolher moedas douradas colocadas aleatoriamente em um terreno destinado à realização da competição. A pontuação dos competidores seria calculada ao final do tempo destinado a cada um dos participantes, no qual as moedas coletadas por eles seriam contadas e a pontuação de cada um seria calculada, subtraindo do número de moedas coletadas uma porcentagem de valor igual ao número de moedas coletadas. Dessa forma, um participante que coletasse 60 moedas teria sua pontuação calculada da seguinte forma: pontuação = 60 – 36 (60% de 60) = 24. O vencedor da prova seria o participante que alcançasse a maior pontuação.

Qual será o limite máximo de pontos que um competidor pode alcançar nessa prova?

a)25 ----> correta

b)50

c)75

d)100

Answer 1

Chamamos de x a quantidade de moedas que o participante irá recolher, sua pontuação será calculada da seguinte forma:

$P = x - \dfrac{x}{100} \cdot x$

$P = x - \dfrac{x^2}{100}$

Como o cálculo da pontuação é dado por uma função do 2º grau, basta encontrar a coordenada y do vértice para verificar a pontuação máxima.

$y_v = \dfrac{ - \Delta}{4a} = \dfrac{-(1^2 - 4.(\frac{-1}{100} ).0)}{4.(\frac{-1}{100} )}$

$y_v = \dfrac{-1}{\frac{-4}{100}} = \dfrac{100}{4} = 25$

O limite máximo será 25 pontos.

Answer 2

• O que é derivação?

A derivação é uma das vertentes do cálculo diferencial e integral que consiste em, a partir de uma função f(x) dada, encontrar uma outra função f'(x), chamada de derivada, que representa a taxa em que f(x) varia à medida em que x varia.

• O que é porcentagem?

A porcentagem é uma razão, onde o denominador é igual a 100. Elas são indicadas símbolo “%”, o qual é lido como “por cento”.

Portanto, uma fração pode ser representada em forma fracionária, em forma decimal, ou acompanhada do símbolo %.

Por exemplo:

$\dfrac{4}{100}=0,04=4\%$

• Analisando o problema

Chamando o número de moedas encontradas de m e a pontuação obtida em relação ao número de moedas de P(m), temos que

$P(m)=m-m\%~de~m\\\\P(m)=m-\dfrac{m}{100}~.~m\\\\P(m)=m-\dfrac{m^2}{100}\\\\P(m)=-\dfrac{m^2}{100}+m$

• Como encontrar a pontuação máxima?

Podemos chegar a esse resultado de duas maneiras diferentes:

1) Como a equação obtida é de segundo grau e, portanto, representa uma parábola com concavidade voltada para baixo (ver figura anexa), basta calcular a coordenada $y_v$ de seu ponto máximo (ou vértice), ou seja,

$\text{Coeficientes: a = -\frac{1}{100}, b = 1 e c = 0}\\\\\\\Delta=b^2-4~.~a~.~c=1^2-4~.~-\frac{1}{100}~.~0=1-0=1\\\\\\y_v=-\dfrac{\Delta}{4~.~a}\\\\y_v=-\dfrac{1}{4~.~-\frac{1}{100}}\\\\y_v=-1~.~-\dfrac{100}{4}}\\\\y_v=-1~.~-25\\\\y_v=25$$Coeficientes: a=-\frac{1}{100},~b=1~e~c=0}\\\\\Delta=b^2-4~.~a~.~c=1^2-4~.~-\frac{1}{100}~.~0=1-0=1\\\\\\y_v=-\dfrac{\Delta}{4~.~a}\\\\y_v=-\dfrac{1}{4~.~-\frac{1}{100}}\\\\y_v=-1~.~-\dfrac{100}{4}}\\\\y_v=-1~.~-25\\\\y_v=25$

2) Encontrado a derivada da função e igualando-a a zero, encontraremos o valor de x para o qual a taxa de variação da função é zero, ou seja, o ponto onde a função atinge seu valor máximo.

$P'(m)=\dfrac{d}{dt}~\left(-\dfrac{m^2}{100}+m \right)\\\\P'(m)=\dfrac{d}{dt}~\left(-\dfrac{m^2}{100}\right)+\dfrac{d}{dt}~m\\\\P'(m)=-\dfrac{2m}{100}+1$

Igualando a zero,

$-\dfrac{2m}{100}+1=0\\\\-\dfrac{m}{50}+1=0\\\\-\dfrac{m}{50}=-1\\\\m=-1~.~-50\\\\m=50$

• Substituindo na equação

$P(50)=-\dfrac{50^2}{100}+50\\\\P(50)=-\dfrac{2500}{100}+50\\\\P(50)=-25+50\\\\P(50)=25$

• Para saber mais

https://brainly.com.br/tarefa/25656566

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