Question

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Gincana da tarde:

I) Resolva o sistema exponencial:
$\begin{cases} 4 {}^{x} \times 8 {}^{y} = \frac{1}{4} \\ 9 {}^{x} \times 27 {}^{2y} = 3\end{cases}$
Boa sorte (. ❛ ᴗ ❛.).

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Answer 1

Olá marcos4839...

Neste problema, simplificaremos as duas equações para que as variáveis não estejam mais como expoentes, e em seguida resolveremos o sistema.

Usaremos as seguintes propriedades:

${( {a}^{m} )}^{n} = {a}^{m \times n}$

${a}^{m} \times {a}^{n} = {a}^{m + n}$

${a}^{ - 1} = \frac{1}{a}$

Agora vamos simplificar as equações...

______________________________________

1ª equação:

$4 {}^{x} \times 8 {}^{y} = \frac{1}{4}$

${( {2}^{2} )}^{x} \times {( {2}^{3} )}^{y} = {2}^{ - 2}$

${2}^{2x} \times {2}^{3y} = { 2}^{ - 2}$

${2}^{2x + 3y} = {2}^{ - 2}$

Agora que elas estão na mesma base, podemos escrever apenas os expoentes...

$2x + 3y = - 2$

Esta é a forma simplificada da primeira equação.

2ª equação:

$9 {}^{x} \times 27 {}^{2y} = 3$

${( {3}^{2} )}^{x} \times { ({3}^{3} )}^{2y} = {3}^{1}$

${3}^{2x} \times {3}^{6y} = {3}^{1}$

${3}^{2x + 6y} = {3}^{1}$

...

$2x + 6y = 1$

Esta é a forma simplificada da segunda equação.

______________________________________

Agora vamos resolver o sistema...

$\begin{cases} 2x + 3y = - 2 \\ 2x + 6y = 1\end{cases}$

Vamos isolar o termo 2x da primeira equação e, em seguida, substituir esse termo na segunda equação.

$2x + 3y = - 2$

$2x = - 2 - 3y$

Substituindo...

$( - 2 - 3y) + 6y = 1$

$6y - 3y = 1 + 2$

$3y = 3$

$y = 1$

Agora encontramos o valor de x, para isso substituímos o valor de y em qualquer uma das duas equações anteriores (vamos usar a segunda aqui, fica a sua preferência).

$2x + 6 \times (1) = 1$

$2x = 1 - 6$

$x = \frac{5}{2}$

É isso, encontramos os valores de x e y (resolvemos o sistema).

______________________________________

Resposta: x = 5/2 ; y = 1

Qualquer dúvida, comente aí...

Espero ter ajudado!

Answer 2

$\begin{cases}{4}^{x} \times{8}^{y} = \frac{1}{4} \\{9}^{x} \times{27}^{2y} = 3\end{cases}$

$\begin{cases}{2}^{2x} \times{2}^{3y} ={2}^{-2} \\{3}^{2x} \times{3}^{6y} = 3\end{cases}$

$\begin{cases}{2}^{2x+3y}={2}^{-2} \\{3}^{2x+6y}=3\end{cases}$

$\mathtt{\begin{cases}2x+3y=-2\\2x+6y=1\end{cases}}$

multiplicando por -2

$\mathtt{\begin{cases}-4x-6y=4\\2x+6y=1\end{cases}}$

$\mathtt{-2x=5}\\\mathtt{x=-\dfrac{5}{2}}$

$\mathtt{2x+6y=1}\\\mathtt{2.(-\dfrac{5}{2})+6y=1}\\\mathtt{-5+6y=1}\\\mathtt{6y=5+1}\\\mathtt{6y=6}$

$\mathtt{y=\dfrac{6}{6}}\\\mathtt{y=1}$